[论文解读] Long-time numerical energy conservation of extended RKN integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems

Bin Wang, Xinyuan Wu|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文利用调制傅里叶展开分析了高振荡哈密顿系统中扩展RKN（ERKN）格式的长时间能量守恒问题。结果表明，对称ERKN格式在长时间内几乎精确地保持总能量与振荡能量，从而确立了两个几乎不变量，这对高振荡动力学中的数值稳定性至关重要。

ABSTRACT

The aim of this paper is to analyze the long-time behaviour of extended Runge--Kutta--Nystr\{o}m (ERKN) integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems. It is important to note that the well-known Gautschi-type methods of order two yield examples of ERKN integrators. To this end, we use the modulated Fourier expansion to analyze the long-time numerical energy conservation. We will show that the ERKN integrators with symmetry conditions have two almost-invariants and have a near conservation of the total and oscillatory energy over a long term.

研究动机与目标

• 研究扩展RKN（ERKN）格式在高振荡哈密顿系统中的长时间数值能量行为。
• 建立对称ERKN格式中几乎不变量的存在性。
• 分析长时间积分区间内总能量与振荡能量的近似守恒性。
• 验证二阶Gautschi型方法是ERKN格式的特例。
• 基于调制傅里叶展开，为能量守恒提供理论基础。

提出的方法

• 利用调制傅里叶展开分析ERKN格式的长时间行为。
• 应用对称性条件于ERKN格式，推导其结构特性。
• 从调制傅里叶展开中推导出对称ERKN格式的两个几乎不变量。
• 分析长时间积分中总能量与振荡能量分量的近似守恒性。
• 将ERKN格式与已知的Gautschi型方法进行比较，确认其作为特例的包含关系。
• 利用渐近展开技术建立能量偏差的理论界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称ERKN格式在高振荡哈密顿系统中是否表现出总能量与振荡能量的长时间近似守恒？
• RQ2 在调制傅里叶分析下，对称ERKN格式中会涌现出哪些几乎不变量？
• RQ3 二阶Gautschi型方法与ERKN格式的更广类之间有何关系？
• RQ4 ERKN格式在长时间积分区间内对能量的保持程度如何？
• RQ5 对称性在确保ERKN格式长时间能量守恒中起到何种作用？

主要发现

• 对称ERKN格式具有两个几乎不变量，主导其长时间能量行为。
• 总能量与振荡能量分量在长时间积分中几乎被守恒。
• 调制傅里叶展开表明，能量偏差缓慢增长，表明其具有近似守恒性。
• 确认二阶Gautschi型方法是ERKN格式的特定实例。
• 理论框架表明，对称ERKN格式可在长时间内保持能量结构。
• 分析结果证实，长时间能量守恒是源于对称性与调制傅里叶方法的直接结果。