[论文解读] Long wavelength solitary waves in Hertzian chains

Michelle Przedborski, Stephen C. Anco|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Nonlinear Waves and Solitons被引用 1

一句话总结

本文通过连续体模型分析预压赫兹链中的长波长孤立波，以波速和渐近振幅参数化波形。研究建立波速与声速之比决定动力学非线性度的关联，揭示在弱压缩系统中高度超音速波对应高度非线性脉冲，而在强压缩系统中略超音速波对应弱非线性脉冲，且在两种非线性区域中均给出了波幅、宽度、动量和能量的显式公式。

ABSTRACT

Properties of solitary waves in pre-compressed Hertzian chains of particles are studied in the long wavelength limit using a well-known continuum model. Several main results are obtained by parameterizing the solitary waves in terms of their wave speed and their asymptotic amplitude. First, the asymptotic amplitude is shown to be directly related to the continuum sound speed, and the ratio of asymptotic amplitude to peak amplitude is shown to describe the degree of dynamical nonlinearity in the underlying discrete system. Second, an algebraic relation is derived that determines the dynamical nonlinearity ratio in terms of the ratio of the solitary wave speed to the sound speed. In particular, highly supersonic solitary waves correspond to highly nonlinear propagating pulses in weakly compressed systems, and slightly supersonic solitary waves correspond to weakly nonlinear propagating pulses in strongly compressed systems. Third, explicit formulas for the physical height, width, impulse and energy of the solitary waves are obtained in both the strongly nonlinear regime and the weakly nonlinear regime. Asymptotic expansions are used to show that in the strongly nonlinear regime, solitary waves are well-approximated by Nesterenko's compacton (having the same wave speed), while in the weakly nonlinear regime, solitary waves coincide with solitons of the Korteweg-de Vries (KdV) equation, with the same wave speed. All of these results are illustrated by means of exact solitary wave solutions, including the physically important case that models a chain of spherical particles.

研究动机与目标

• 理解在长波长近似下预压赫兹链中长波长孤立波的行为。
• 将孤立波的渐近振幅与连续体声速关联，并量化动力学非线性度。
• 推导波速与非线性度比值之间的代数关系，阐明波传播的物理区域。
• 在强非线性和弱非线性区域中，提供波幅、宽度、动量和能量的显式表达式。
• 表明在强非线性极限下，孤立波近似于内斯特伦科的紧支集波包（compactons），而在弱非线性极限下，它们与KdV孤立子重合，两者具有相同的波速。

提出的方法

• 通过波速和渐近振幅对孤立波进行参数化，以分析其动力学特性。
• 使用从离散赫兹链推导出的连续体模型，在长波长极限下描述波的传播。
• 推导波速与声速之比和动力学非线性度比值之间的代数关系。
• 应用渐近展开表明，在强非线性区域中，孤立波收敛于内斯特伦科的紧支集波包解。
• 在弱非线性区域中，证明孤立波与Korteweg-de Vries（KdV）方程的孤立子解一致。
• 推导出在两种非线性区域中均适用的物理波特性（波幅、宽度、动量和能量）的精确公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫兹链中孤立波的渐近振幅与连续体声速之间有何关系？
• RQ2 波速与系统中动力学非线性度之间存在何种函数关系？
• RQ3 在强非线性区域中，孤立波与内斯特伦科的紧支集波包解有何比较？
• RQ4 在弱非线性区域中，孤立波与KdV方程的解以何种方式对应？
• RQ5 在不同非线性区域中，孤立波的物理特性（波幅、宽度、动量、能量）的精确表达式是什么？

主要发现

• 孤立波的渐近振幅与连续体声速成正比，建立了波形与系统刚度之间的基本联系。
• 渐近振幅与峰值振幅之比量化了离散系统中的动力学非线性度。
• 推导出代数关系表明，波速与声速之比完全决定了动力学非线性度比值。
• 高度超音速孤立波对应弱压缩系统中的高度非线性脉冲，而略超音速波则出现在强压缩、弱非线性系统中。
• 在强非线性区域中，孤立波可良好近似为与相同波速的内斯特伦科紧支集波包，证实其具有紧支集行为。
• 在弱非线性区域中，孤立波与KdV孤立子完全重合，共享相同的波速和孤立子轮廓，验证了该极限下KdV近似的有效性。