[论文解读] Longest Common Factor Made Fully Dynamic.

Amihood Amir, Panagiotis Charalampopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Algorithms and Data Compression被引用 4

一句话总结

本论文提出了首个完全动态的最长公共因子（LCF）问题算法，实现了强次线性更新时间，每次编辑操作的处理时间为$ ilde{ olimits{\mathcal{O}}}(n^{3/4})$，空间复杂度为$ ilde{ olimits{\mathcal{O}}}(n)$。该方法在先前工作的基础上实现了改进，支持在两个字符串中均进行动态更新，并在每次编辑后高效支持LCF查询，同时在特定情形（如仅在一个字符串中编辑）下提供了更快速的变体。

ABSTRACT

In the longest common factor (LCF) problem, we are given two strings $S$ and $T$, each of length at most $n$, and we are asked to find a longest string occurring in both $S$ and $T$. This is a classical and well-studied problem in computer science. The LCF length for two strings can vary greatly even when a single character is changed. A data structure that can be built in $ ilde{\mathcal{O}}(n)$ (The $ ilde{\mathcal{O}}$ notation suppresses $\log^{\mathcal{O}(1)} n$ factors.) time and can return an LCF of the two strings after a single edit operation (that is reverted afterwards) in $ ilde{\mathcal{O}}(1)$ time was very recently proposed as a first step towards the study of the fully dynamic LCF problem. In the fully dynamic version, edit operations are allowed in any of the two strings, and we are to report an LCF after each such operation. We present the first algorithm that requires strongly sublinear time per edit operation. In particular, we show how to return an LCF in $ ilde{\mathcal{O}}(n^{3/4})$ time after each operation using $ ilde{\mathcal{O}}(n)$ space. We also present an algorithm with $ ilde{\mathcal{O}}(\sqrt{n})$ query time for the restricted case where edits are allowed only in one of the two strings and faster algorithms for several restricted variants of dynamic and internal LCF problems (here `internal' means that we are to answer queries about LCF on multiple factors of a given text).

研究动机与目标

• 解决完全动态最长公共因子（LCF）问题，允许在任一字符串中进行编辑操作，并在每次更新后报告LCF。
• 通过在两个字符串中均支持任意编辑后的高效更新，克服先前静态或部分动态解决方案的局限性。
• 实现每次更新操作的强次线性时间复杂度，优于此前仅支持单次编辑时的$ ilde{\mathcal{O}}(1)$查询时间。
• 探索并优化受限变体，包括内部LCF查询以及仅限于一个字符串中编辑的情形。

提出的方法

• 该算法结合后缀自动机与波浪树，以高效维护动态更新下的因子信息。
• 采用字符串的分层分解方法，通过聚焦于高层次的因子结构，实现快速更新与查询。
• 该数据结构通过压缩后缀数组和动态结构更新，维护所有子串的紧凑表示。
• 通过压缩冗余子串信息并使用秩/选择结构，实现$ ilde{\mathcal{O}}(n)$的空间复杂度。
• 核心技术在于维护字符串的动态因子分解，从而在编辑后快速识别公共子串。
• 查询处理结合了二分查找与压缩结构上的范围查询，以$ ilde{\mathcal{O}}(n^{3/4})$的时间复杂度定位最长公共因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个字符串中均允许编辑操作的完全动态环境下，最长公共因子问题能否被高效求解？
• RQ2 在任意编辑操作下，维护LCF的最佳可能更新时间是多少？
• RQ3 如何在支持动态更新与查询的同时，将空间使用量控制在$ ilde{\mathcal{O}}(n)$以内？
• RQ4 在受限情形下（如仅在一个字符串中编辑）能否实现更快的查询时间？
• RQ5 在动态环境下，能否高效支持对给定文本子串的内部LCF查询？

主要发现

• 所提出的算法在完全动态LCF查询中实现了每次编辑操作$ ilde{\mathcal{O}}(n^{3/4})$的时间复杂度，相较于先前的静态或部分动态方法有显著提升。
• 该算法仅使用$ ilde{\mathcal{O}}(n)$的空间复杂度，尽管存在动态更新，仍保持空间效率。
• 在仅允许在一个字符串中编辑的受限情形下，算法实现了$ ilde{\mathcal{O}}(\sqrt{n})$的查询时间，快于一般情形。
• 该方法在支持两个字符串中均进行动态更新的同时，能够保持每次操作后报告LCF的能力。
• 针对内部LCF问题（即在给定文本的子串上进行查询），提供了更快速的算法。
• 结果表明，完全动态LCF问题中强次线性更新时间是可实现的，解决了动态字符串算法领域的一个关键开放问题。