[论文解读] Longest Common Subsequences in Sets of Permutations

Paul Beame, Eric Blais+1 more|ArXiv.org|Apr 10, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 13

一句话总结

该论文证明了对于任意常数 $ k \geq 3 $，在 $ n $ 个元素的 $ k $ 个排列中，最长公共子序列（LCS）的渐近上界为 $ 32(kn)^{1/3} $，从而表明此前已知的下界 $ n^{1/3} $ 在常数因子意义下是紧的。该结果通过一种基于模运算和从素数模数导出的坐标三元组字典序排列的构造性代数方法实现。

ABSTRACT

The sequence a_1,...,a_m is a common subsequence in the set of permutations S = {p_1,...,p_k} on [n] if it is a subsequence of p_i(1),...,p_i(n) and p_j(1),...,p_j(n) for some distinct p_i, p_j in S. Recently, Beame and Huynh-Ngoc (2008) showed that when k>=3, every set of k permutations on [n] has a common subsequence of length at least n^{1/3}. We show that, surprisingly, this lower bound is asymptotically optimal for all constant values of k. Specifically, we show that for any k>=3 and n>=k^2 there exists a set of k permutations on [n] in which the longest common subsequence has length at most 32(kn)^{1/3}. The proof of the upper bound is constructive, and uses elementary algebraic techniques.

研究动机与目标

• 确定 $ f_k(n) $ 的渐近行为，即在任意 $ k $ 个 $ n $ 个元素的排列中，最长公共子序列的最小长度。
• 弥合已知下界 $ f_k(n) \geq \lceil n^{1/3} \rceil $ 与 $ f_k(n) $ 上界之间的差距，特别是针对常数 $ k \geq 3 $ 的情形。
• 通过证明增长仅为 $ n^{1/3} $ 量级，而非 $ n^{1/2 - o(1)} $，从而否定 $ f_k(n) $ 在 $ k = n^{o(1)} $ 时呈 $ n^{1/2 - o(1)} $ 增长的猜想。
• 使用初等代数技巧和模运算，提供 $ f_k(n) $ 的构造性上界。

提出的方法

• 基于素数模数 $ p \approx (nk)^{1/3} $ 导出的三元组坐标 $ (x, y, z) $，使用字典序定义 $ k $ 个 $ [n] $ 上的排列。
• 为 $ [n] $ 中每个元素分配一个唯一的三元组 $ (x, y, z) $，其中 $ x \in [s_1] $，$ y \in [s_2] $，$ z \in [s_3] $，且 $ s_1 = \lceil (n/k^2)^{1/3} \rceil $，$ s_2 = s_3 = (nk)^{1/3} $。
• 对每个 $ i \in [k] $，定义排列 $ \pi_i $，使其按 $ h_{3,i}(a) = i^2 x + 2i y + 2z \mod p $ 的值非减顺序排列元素。
• 利用伯特兰德引理确保 $ p < 8(nk)^{1/3} $，从而保证任意公共子序列中，$ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ 对的数量被限制在 $ 2p - 1 $ 以内。
• 通过反证法证明，在公共子序列中，对所有索引 $ t $，对 $ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ 必须互不相同，从而得出子序列长度的上界为 $ 2p - 1 $。
• 通过将 $ n $ 补齐至 $ n' \leq 8n $ 使其坐标为整数，将结果从整数 $ s_1, s_2, s_3 $ 推广到一般情形，同时保持渐近上界不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有常数 $ k \geq 3 $，$ f_k(n) $ 的下界 $ n^{1/3} $ 是否在渐近意义上是紧的？
• RQ2 对于常数 $ k $，$ f_k(n) $ 的上界能否优于 $ O((kn)^{1/3}) $？
• RQ3 当 $ k = n^{o(1)} $ 时，$ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ 的猜想是否成立，还是被更紧的界所否定？
• RQ4 在一组 $ k $ 个排列中，公共子序列的最大长度是多少？是否可以显式构造？

主要发现

• 对于所有 $ k \geq 3 $ 且 $ n \geq k^2 $，存在一组 $ k $ 个 $ [n] $ 上的排列，使得其最长公共子序列长度至多为 $ 32(kn)^{1/3} $。
• 上界 $ f_k(n) \leq 32(kn)^{1/3} $ 是构造性的，且通过模运算和坐标三元组的字典序排列推导得出。
• 对于所有常数 $ k \geq 3 $，$ f_k(n) = \Theta(n^{1/3}) $ 的界在常数因子意义下是紧的，从而解决了 $ f_k(n) $ 的渐近行为问题。
• 该结果否定了 $ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ 的猜想（当 $ k = n^{o(1)} $ 时），表明 $ f_k(n) $ 的增长仅类似 $ n^{1/3} $。
• 该构造使用了约 $ (nk)^{1/3} $ 的素数模数 $ p $，并基于模 $ p $ 的线性形式定义排列，从而确保不存在过长的公共子序列。
• 证明依赖于如下事实：任何公共子序列都要求重复出现模值对，但这是不可能的，原因在于线性形式的结构以及模运算中的三角不等式。