[论文解读] Looking for continuous local martingales with the crossing tree (Working Paper)

Owen D. Jones, David A. Rolls|ArXiv.org|Nov 27, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于交叉树——一种编码随机过程穿过水平集通过时间的树状结构——的新型统计检验方法，用于检验连续局部鞅假设。该方法在统计功效上优于基于二次变差的检验方法，尤其在短数据集下表现更优，并在2003年高频外汇汇率（如AUD-USD、EUR-USD）中，于15分钟以下的时间尺度上拒绝了连续鞅假设，表明存在微观结构或类似跳跃的行为。

ABSTRACT

We present statistical tests for the continuous martingale hypothesis. That is, whether an observed process is a continuous local martingale, or equivalently a continuous time-changed Brownian motion. Our technique is based on the concept of the crossing tree. Simulation experiments are used to assess the power of the tests, which is generally higher than recently proposed tests using the estimated quadratic variation (i.e., realised volatility). In particular, the crossing tree shows significantly more power with shorter datasets. We then show results from applying the methodology to high frequency currency exchange rate data. We show that in 2003, for the AUD-USD, GBP-USD, JPY-USD and EUR-USD rates, at small timescales (less than 15 minutes or so) the continuous martingale hypothesis is rejected, but not so at larger timescales. For 2003 EUR-GBP data, the hypothesis is rejected at small timescales and some moderate timescales, but not all.

研究动机与目标

• 开发一种比现有基于二次变差的方法更强大的连续局部鞅假设检验方法。
• 研究高频外汇汇率在不同时间尺度下是否表现出连续局部鞅行为。
• 利用交叉树结构表征随机过程的小尺度扩散行为。
• 评估所提出检验在各种扩散过程下的经验第一类错误率与统计功效。
• 确定用于模拟扩散过程（如Feller平方根过程）中交叉时间的阈值水平δ。

提出的方法

• 通过记录过程穿过一系列水平的通过时间构建交叉树，以捕捉小尺度扩散行为。
• 利用交叉时间的经验分布检验其平稳性与独立性，评估其是否与布朗运动下的理论分布一致。
• 应用多种分布性检验（如卡方检验、G检验、柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验）评估交叉时间分布与理论期望的拟合优度。
• 对交叉时间执行独立性检验（如自相关、Wald-Wolfowitz检验、O’Brien检验），以检测与连续局部鞅不一致的依赖结构。
• 通过模拟与回归外推法估计δ（水平间距），以在固定区间内实现目标交叉次数，确保通过时间的准确采样。
• 通过模拟过程（布朗运动带漂移、Ornstein-Uhlenbeck过程、分数布朗运动、Feller过程）比较交叉树检验与基于二次变差检验的统计功效。

实验结果

研究问题

• RQ1 与基于二次变差的检验相比，交叉树方法是否能更有效地检测出连续局部鞅假设的偏离？
• RQ2 高频外汇汇率在何种时间尺度下偏离连续局部鞅假设？
• RQ3 在不同扩散过程中，特别是当过程在通过时间处非平稳时，交叉时间的经验分布行为如何？
• RQ4 能否通过模拟与外推法可靠估计时间改变扩散过程（如Feller平方根过程）中的δ？
• RQ5 交叉时间分布的非平稳性在多大程度上影响基于其构建的统计检验的有效性？

主要发现

• 由于对小尺度扩散行为的敏感性，基于交叉树的检验在短数据集下显著优于基于二次变差的检验，表现出更高的统计功效。
• 对于2003年外汇数据，AUD-USD、GBP-USD、JPY-USD和EUR-USD在15分钟以下的时间尺度上拒绝了连续鞅假设，表明高频下存在非鞅行为。
• 对于EUR-GBP，该假设在小尺度和部分中等尺度被拒绝，但并非全部，表明存在异质性微观结构效应。
• 即使在1000次通过时间之后，Feller平方根过程的经验交叉时间分布仍表现出非平稳性，导致基于平稳性的假设失效。
• 通过有限Δ模拟的δ估计值经回归外推，得出在Feller过程中κ=6、σ=1时，5个时间单位内实现1250次交叉的稳定估计值δ ≈ 0.028163。
• 该方法成功识别出具有均值回归或长程依赖性的过程（如Ornstein-Uhlenbeck过程和分数布朗运动过程）中连续局部鞅假设的偏离。