[论文解读] Looking more closely to the Rabinovich-Fabrikant system

Marius‐F. Danca, Mičhal Fĕckan+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文对Rabinovich-Fabrikant系统进行了详细的数值研究，揭示了循环混沌、瞬态混沌、混沌隐 attractor以及一种新型的类似鞍点的吸引子。通过采用固定步长的LIL方法，实现了对异宿轨道的改进近似，并表明吸引子共存与分形吸引 basin 边界对初始条件和数值方法极为敏感。

ABSTRACT

Recently, we look more closely into the Rabinovich-Fabrikant system, after a decade of the study in [Danca & Chen, 2004], discovering some new characteristics such as cycling chaos, transient chaos, chaotic hidden attractors and a new kind of saddles-like attractor. In addition to extensive and accurate numerical analysis, on the assumptive existence of heteroclinic orbits, we provide a few of their approximations.

研究动机与目标

• 在前人研究十年后，利用先进数值技术重新审视Rabinovich-Fabrikant系统。
• 研究系统中隐 attractor、循环混沌和瞬态混沌的存在性及其特征。
• 在假设异宿轨道存在的前提下，提供其更优的数值近似。
• 分析吸引子共存与分岔边界对初始条件、步长及数值方法的敏感性。
• 利用LIL预测-校正方法识别并表征一种新型鞍点状吸引子。

提出的方法

• 采用固定步长的局部迭代线性化（LIL）预测-校正方法，以高精度求解ODE系统。
• 在启动LIL方案前，使用四阶龙格-库塔（RK4）方法生成初始步长。
• 在积分区间T_max = 300–500内，采用步长h = 0.00005–0.0001应用LIL方法。
• 针对不同的初始条件（x₀₁, x₀₂ ∈ (−1,1)，x₀₃ = 0.3）和参数值（a = 0.1，b ∈ (0.13, 2)）进行了大量数值试验。
• 利用LIL方法检测并分析平衡点的不稳定流形及其与吸引子分岔的关系。
• 进行分岔分析与吸引 basin 映射，以识别共存吸引子及隐 attractor 行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在先前研究报道的动态行为之外，Rabinovich-Fabrikant系统中是否出现了新的动力学行为？
• RQ2 能否在Rabinovich-Fabrikant系统中通过数值方法确认隐 attractor 的存在？其与不稳定平衡点之间有何关系？
• RQ3 LIL与RK4等数值方法在捕捉该系统中瞬态与混沌动力学方面的能力有何差异？
• RQ4 参数b在诱导倍周期分岔级联与复杂分岔结构方面起到何种作用？
• RQ5 能否识别出一种新型鞍点状吸引子，并将其与标准混沌或稳定吸引子区分开来？

主要发现

• 系统表现出循环混沌，即轨迹随时间在不同混沌区域之间交替。
• 观察到瞬态混沌，轨迹在长时间保持混沌状态后最终趋于稳定状态。
• 当a = 0.1且b = 0.2715时，混沌吸引子被确认为隐 attractor，因其吸引 basin 不与平衡点邻域相交。
• 平衡点X₀*与X₃,₄*的不稳定流形未汇聚至混沌吸引子，支持其隐 attractor 的分类。
• LIL方法揭示了一种新型鞍点状吸引子，该吸引子无法通过标准RK4方法检测到。
• 对于特定参数值，数值上确认了多种吸引子的共存现象，如混沌吸引子与汇的共存、稳定周期轨道与稳定周期轨道的共存，以及周期轨道与不动点的共存。