[论文解读] Loop Equation in Turbulence

Alexander Migdal|ArXiv.org|Mar 23, 1993

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文将不可压缩流体动力学表述为环路动力学问题，推导出速度环流生成泛函 Ψ[C] 的泛函方程，其中 C 为坐标空间中的闭合环路。该研究获得了一个精确的稳态解，表明环流 Γ 的概率分布为洛伦兹分布，其宽度按 A^{1/3} 规律缩放，进而通过惯性尺度范围内有限能量耗散的要求，导出柯尔莫哥洛夫 -5/3 能量谱。

ABSTRACT

The incompressible fluid dynamics is reformulated as dynamics of closed loops $C$ in coordinate space. This formulation allows to derive explicit functional equation for the generating functional $Ψ[C]$ in inertial range of spatial scales, which allows the scaling solutions. The requirement of finite energy dissipation rate leads then to the Kolmogorov index. We find an exact steady solution of the loop equation in inertial range of the loop sizes. The generating functional decreases as $\EXP{-A^{ t}}$ where $A=\oint_C r \wedge dr$ is the area inside the loop. The pdf for the velocity circulation $Γ$ is Lorentzian, with the width $\barΓ \propto A^{ t} $.

研究动机与目标

• 将不可压缩流体动力学重新表述为坐标空间中闭合环路的动力学。
• 推导环路 C 周围速度环流的生成泛函 Ψ[C] 的泛函方程。
• 识别环路尺寸惯性范围内的标度解。
• 从有限能量耗散率的物理要求出发，推导柯尔莫哥洛夫能量谱。
• 获得环路方程在环路面积 A 上显式依赖的精确稳态解。

提出的方法

• 使用坐标空间中的闭合环路 C 作为基本变量，重新表述纳维-斯托克斯方程。
• 将生成泛函 Ψ[C] 定义为环路 C 沿路径的环流生成函数。
• 在空间尺度的惯性范围内，推导出 Ψ[C] 的泛函环路方程。
• 施加有限能量耗散率条件以约束标度行为。
• 在惯性范围内精确求解环路方程，得到 Ψ[C] ∝ exp(−A^{1/3})，其中 A 为环路 C 所围面积。
• 推导出环流 Γ 的概率密度函数（PDF），其形式为宽度 ∝ A^{1/3} 的洛伦兹分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可压缩流体动力学能否被一致地重新表述为坐标空间中闭合环路的动力学？
• RQ2 在惯性范围内，环流的生成泛函 Ψ[C] 由何种泛函方程控制？
• RQ3 有限能量耗散率要求如何约束环路泛函的标度行为？
• RQ4 环路方程在惯性范围内的精确稳态解形式为何？
• RQ5 速度环流 Γ 的概率分布函数形式为何，其与环路面积 A 的依赖关系如何？

主要发现

• 在惯性范围内，生成泛函 Ψ[C] 按 exp(−A^{1/3}) 衰减，其中 A 为环路 C 所围面积。
• 速度环流 Γ 的概率密度函数（PDF）为精确的洛伦兹分布，其宽度按 A^{1/3} 规律缩放。
• 柯尔莫哥洛夫 -5/3 能量谱作为有限能量耗散率约束的结果被导出。
• 获得了环路方程在惯性范围内精确的稳态解。
• 环流 PDF 与环路面积 A 的标度关系确认了湍流中惯性尺度标度律的普适性。