[论文解读] Loop groups and twin buildings

Linus Kramer|ArXiv.org|Sep 19, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文通过将 Veronese 嵌入仿射 Kac-Moody 代数，构建并分析了复数和实数洛朗多项式环上循环群与 Kac-Moody 群的对偶建筑物。它通过等变嵌入实现了这些建筑物的拓扑实现，并将其应用于通过循环空间的同伦性质给出 Bott 陈示性类的几何证明，特别是证明代数循环群 $\Omega_{\text{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 在一个单连通空间上作用传递，且商空间同胚于 $\mathrm{SU}(n)$，从而在 K-理论中得到 Bott 陈示性类同构。

ABSTRACT

We describe some buildings related to complex Kac-Moody groups. First we describe the spherical building of SLn(C) (i.e. the projective geometry PG(Cn)) and its Veronese representation. Next we recall the construction of the affine building associated to a discrete valuation on the rational function field $C(z)$. Then we describe the same building in terms of complex Laurent polynomials, and introduce the Veronese representation, which is an equivariant embedding of the building into an affine Kac-Moody algebra. Next, we introduce topological twin buildings. These buildings can be used for a proof - which is a variant of the proof by Quillen and Mitchell - of Bott periodicity which uses only topological geometry. At the end we indicate very briefly that the whole process works also for affine real almost split Kac-Moody groups.

研究动机与目标

• 通过使用对偶建筑物和 Veronese 嵌入，为循环群与 Kac-Moody 群建立一个几何框架。
• 为复数和实数洛朗多项式环上的循环群相关建筑物建立一个拓扑实现。
• 利用代数循环空间的同伦类型及其轨道空间，提供 Bott 陈示性类的几何证明。
• 通过拓扑几何与极表示，扩展 Quillen-Mitchell 方法以证明 Bott 陈示性类。
• 证明代数循环群在单连通空间上的轨道空间同胚于酉群，从而恢复 Bott 陈示性类同构。

提出的方法

• 将 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$ 的球面建筑物构造为射影几何 $\mathrm{PG}(\mathbb{C}^n)$，并通过 Veronese 映射嵌入旗流形。
• 利用离散赋值定义 $\mathbb{C}(z)$ 上的仿射建筑物，并通过复洛朗多项式环 $\mathbb{C}[z,z^{-1}]$ 实现。
• 引入建筑物到仿射 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{X}$ 中的等变 Veronese 嵌入，保持 $L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 的作用。
• 将拓扑对偶建筑物定义为建模循环空间及其同伦类型的几何工具，尤其用于证明 Bott 陈示性类。
• 利用普遍丛结构 $\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n) \to \mathcal{S} \to \mathrm{SU}(n)$，其中 $\mathcal{S}$ 是单连通的，推导出同伦等价。
• 分析 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}[z,z^{-1}])$ 在建筑物实形式上的作用，并将其与对称空间 $\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SO}(n)$ 的循环空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用离散赋值和洛朗多项式环，为 $\mathbb{C}(z)$ 与 $\mathbb{R}(z)$ 上的循环群构造对偶建筑物？
• RQ2 Veronese 表示在将建筑物嵌入仿射 Kac-Moody 代数并保持群作用中起什么作用？
• RQ3 拓扑对偶建筑物如何在不依赖谱序列的情况下，促进 Bott 陈示性类的几何证明？
• RQ4 轨道空间 $|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} / \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 的同伦论意义是什么？
• RQ5 循环群的实形式如何与紧致对称空间的循环空间相关联？它们在证明实与四元数 Bott 陈示性类中的作用是什么？

主要发现

• 空间 $\mathcal{S}$（即 $L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 中特殊路径的空间）是单连通的，这由其通过 $L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$-等变同胚映射到 $|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} \subseteq \mathfrak{X}$ 所证明。
• 包含映射 $\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n) \to \Omega_{\mathrm{cts}}\mathrm{SU}(n)$ 是弱同伦等价与强同伦等价，表明 $\Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 是代数循环群的普遍分类空间。
• 轨道空间 $|\Delta^+(\mathbb{A}^n)|_{\mathrm{Knarr}} / \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 同胚于 $\mathrm{SU}(n)$，从而提供了普遍丛的几何实现。
• 包含映射 $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{C}^{2k}) \to \Omega_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(k)$ 是一个 $2k$-等价，在极限下 $\mathrm{BU} \to \Omega_{\mathrm{cts}}\mathrm{SU}$ 是同伦等价，从而恢复了 Bott 陈示性类同构。
• 实形式 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}[z,z^{-1}]) \cap L_{\mathrm{alg}}\mathrm{SU}(n)$ 在实对偶建筑物上作用，且同伦等价于 $\Omega_{\mathrm{cts}}(\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SO}(n))$，从而支持实 Bott 陈示性类的证明。
• $W$-值距离函数 $\delta$ 在建筑物上是良定义的，并在单体上限制为标准 Tits 距离，确认了建筑物公理与几何结构。