[论文解读] Loop Quantum Gravity in Ashtekar and Lagrange-Finsler Variables and Fedosov Quantization of General Relativity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Jan 31, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 43被引用 11

一句话总结

该论文通过引入适用于非线性（非完整）2+2和3+1时空纤维化的Ashtekar–Barbero变量，提出了一套统一框架，将环状量子引力（LQG）与Fedosov形变量子化相结合。该框架采用拉格朗日–芬斯勒变量和近似辛几何表述广义相对论，通过N-适应的Ashtekar d-联络构造了类Fedosov星积，并以背景无关、几何一致的方式推导出量子协变爱因斯坦方程。

ABSTRACT

We propose an unified approach to loop quantum gravity and Fedosov quantization of gravity following the geometry of double spacetime fibrations and their quantum deformations. There are considered pseudo-Riemannian manifolds enabled with 1) a nonholonomic 2+2 distribution defining a nonlinear connection (N-connection) structure and 2) an Arnowitt-Deser-Misner 3+1 decomposition. The Ashtekar-Barbero variables are generalized and adapted to the N-connection structure which allows us to write the general relativity theory equivalently in terms of Lagrange-Finsler variables and related canonical almost symplectic forms and connections. The Fedosov results are re-defined for gravitational gauge like connections and there are analyzed the conditions when the star product for deformation quantization is computed in terms of geometric objects in loop quantum gravity. We speculate on equivalence of quantum gravity theories with 3+1 and 2+2 splitting and quantum analogs of the Einstein equations.

研究动机与目标

• 在单一几何框架内统一环状量子引力（LQG）与Fedosov形变量子化。
• 利用拉格朗日–芬斯勒变量和非线性（非完整）2+2与3+1纤维化重新表述广义相对论。
• 通过基于Ashtekar–Barbero d-联络的Fedosov星积，构建背景无关、几何一致的引力量子化方法。
• 在近似辛和拉格朗日–芬斯勒结构背景下，推导爱因斯坦方程的量子类比。
• 分析在何种条件下形变量子化中的Fedosov星积会退化为环状量子引力中的几何对象。

提出的方法

• 在伪黎曼流形上引入具有非完整2+2分布和非线性联络（N-联络）结构的非完整结构。
• 将Ashtekar–Barbero变量适配至N-联络框架，实现广义相对论的规范近似辛形式表述。
• 构造N-适应的Ashtekar–Barbero d-联络，并为引力规范型联络定义Fedosov d-算子。
• 通过定义平坦的Fedosov–Ashtekar d-联络并推导其诱导的星积，将Fedosov的形变量子化程序应用于引力。
• 利用Fedosov d-联络的零阶上同调识别量子态，并推导出量子协变爱因斯坦方程。
• 引入畸变d-张量和N-适应系数，建立标准Levi-Civita联络与Ashtekar–拉格朗日形式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 环状量子引力能否通过几何框架与Fedosov形变量子化一致统一？
• RQ2 Ashtekar–Barbero变量如何推广至非完整（不可积）的2+2与3+1纤维化？
• RQ3 在形变量子化中，Fedosov星积在何种条件下会退化为环状量子引力中的几何对象？
• RQ4 非线性联络和拉格朗日–芬斯勒结构在构建背景无关量子引力中的作用是什么？
• RQ5 如何从N-适应形式下的Fedosov–Ashtekar d-联络推导出爱因斯坦方程的量子类比？

主要发现

• 该论文通过N-适应的Ashtekar–Barbero d-联络构造了类Fedosov的星积，实现了广义相对论在几何一致方式下的形变量子化。
• Fedosov–Ashtekar d-联络的零阶上同调给出了满足Ashtekar–拉格朗日形式下量子协变爱因斯坦方程的量子态。
• 畸变d-张量 $ \tensor[_{\text{--}}]{Z}{\text{--}}_{\beta\tau}^{\nu} $ 显式地以曲率和非线性联络系数表示，建立了标准联络与Ashtekar联络之间的联系。
• 星积由Fedosov–Ashtekar d-联络诱导，依赖于N-适应系数 $ \tensor[_{\text{--}}]{L}{\text{--}}_{jk}^{i}, \tensor[_{\text{--}}]{C}{\text{--}}_{bc}^{a} $ 及曲率形式。
• 该形式保持背景无关性，并允许量子修正项，其是否破坏或保持局部洛伦兹对称性取决于形变结构。
• 在偶数维时空下，通过 $ \widehat{L}_{jk}^{i} $ 和 $ \widehat{C}_{bc}^{a} $ 定义了正规d-联络 $ \tensor[\widehat{}]{\mathbf{\Gamma}}{\text{--}}_{\beta\gamma}^{\alpha} $，从而实现一致的量子表述。