[论文解读] Loop Schrödinger-Virasoro Lie conformal algebra

Haibo Chen, Jianzhi Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文引入了环状Schrödinger-Virasoro李共形代数及其扩展版本，完全确定了它们的共形导子和二阶上同调群。该文对非平凡的一秩自由共形模和ℤ-分次自由中间系列模进行了分类，表明环状Schrödinger-Virasoro代数上的此类模同构于 $ V_{a,b,0,0} $ 或 $ V_{A,b,0,0} $，而其扩展版本上的模则同构于 $ V_{a,b,0,0,d} $ 或 $ V_{A,b,0,0,d} $，其中 $ a,b,d \in \mathbb{C} $ 且 $ A \in \{0,1\}^\infty $。结果将共形表示理论中的已知结构扩展到了具有非平衡统计力学和量子场论物理意义的新一类代数。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two kinds of Lie conformal algebras associated with the loop Schrödinger-Virasoro Lie algebra and the extended loop Schrödinger-Virasoro Lie algebra, respectively. The conformal derivations, the second cohomology groups of these two conformal algebras are completely determined. And nontrivial free conformal modules of rank one and Z-graded free intermediate series modules over these two conformal algebras are also classified in the present paper

研究动机与目标

• 引入并定义环状Schrödinger-Virasoro李共形代数及其扩展版本为 $ \mathbb{C}[\partial] $-模，其 $ \lambda $-括号具有指定形式。
• 确定两种共形代数的共形导子和二阶上同调群。
• 对这些代数上的非平凡一秩自由共形模和 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模进行分类。
• 通过分析 $ \lambda $-括号的一致性和代数关系下的模作用，建立模的同构类。

提出的方法

• 通过在 $ \mathbb{C}[\partial] $-基 $ \{L_i, M_i, Y_i\} $ 上定义 $ \lambda $-括号，引入环状Schrödinger-Virasoro李共形代数 $ \mathfrak{csv} $，其为Schrödinger-Virasoro李代数的环代数的推广。
• 通过增加一个生成元 $ N_i $ 及额外的 $ \lambda $-括号，定义扩展的环状Schrödinger-Virasoro李共形代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $，包括 $ [N_i{}_{\lambda}L_j] = \lambda N_{i+j} $ 和 $ [Y_i{}_{\lambda}N_j] = -Y_{i+j} $。
• 利用李共形代数的公理，包括反对称性和雅可比恒等式，推导模作用的一致性条件。
• 构造两类 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模：$ V_{a,b,c} $ 在 $ M_i $ 上作用为常数，$ V_{A,b,c} $ 通过取值于 $ \{0,1\} $ 的序列 $ A $ 决定 $ L_i $-作用模式。
• 应用 $ \lambda $-括号关系，特别是 $ [Y_i{}_{\lambda}Y_j] = (\partial + 2\lambda)M_{i+j} $，以限制可能的模作用，并证明当且仅当 $ c=0 $ 时 $ Y_i $-作用为零。
• 利用扩展代数中 $ N_i $-作用，对模进行分类并引入额外参数 $ d \in \mathbb{C} $，表明 $ N_i{}_{\lambda}v_m = d v_{i+m} $ 是非平凡性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 环状Schrödinger-Virasoro李共形代数 $ \mathfrak{csv} $ 的共形导子和二阶上同调群是什么？
• RQ2 扩展的环状Schrödinger-Virasoro李共形代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 的共形导子和二阶上同调群是什么？
• RQ3 在 $ \mathfrak{csv} $ 和 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上，哪些非平凡的一秩自由共形模存在？
• RQ4 环状Schrödinger-Virasoro代数 $ \mathfrak{csv} $ 上的 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模的同构类是什么？
• RQ5 扩展代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上的 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模的同构类是什么？

主要发现

• 完全确定了 $ \mathfrak{csv} $ 和 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 的共形导子和二阶上同调群，提供了完整的结构分类。
• 所有 $ \mathfrak{csv} $ 上非平凡的一秩自由共形模同构于 $ V_{a,b,0,0} $ 或 $ V_{A,b,0,0} $，其中 $ a,b \in \mathbb{C} $，$ A \in \{0,1\}^\infty $，且 $ Y_i $-作用为零。
• 所有 $ \mathfrak{csv} $ 上非平凡的 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模同构于 $ V_{a,b,0,0} $ 或 $ V_{A,b,0,0} $，且 $ Y_i $-作用恒为零。
• 对于扩展代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $，所有非平凡的 $ \mathbb{Z} $-分次自由中间系列模同构于 $ V_{a,b,0,0,d} $ 或 $ V_{A,b,0,0,d} $，其中 $ d \in \mathbb{C} $ 参数化了 $ N_i $-作用。
• $ \mathfrak{csv} $ 上模的 $ Y_i $-作用必须为零，这是由于与 $ [Y_i{}_{\lambda}Y_j] = (\partial + 2\lambda)M_{i+j} $ 和 $ [M_i{}_{\lambda}Y_j] = 0 $ 的一致性要求，强制模块结构中的 $ c=0 $。
• $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上模的 $ N_i $-作用必为 $ N_i{}_{\lambda}v_m = d v_{i+m} $ 的形式，其中 $ d \in \mathbb{C} $，这完全决定了模的同构类。