[论文解读] Lorentzian Kleinian Groups

Thierry Barbot|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本综述将洛伦兹型克莱因群引入反德西特空间（AdS）等距变换的离散子群中，通过引入因果性，扩展了经典克莱因群理论。研究表明，尊重因果结构的无时序子群（即无时序子群）具有明确定义的极限集，并可在不可见域上实现适当的变换，将双曲几何推广至洛伦兹几何设定，并与全局双曲时空及2+1维的泰希缪勒理论相联系。

ABSTRACT

Classical Kleinian groups are discrete subgroups of isometries of H n. The well-known theory of Kleinian groups starts with the definition of their associated limit set in the boundary of H n , and includes the geometric properties of the quotient hyperbolic space. This approach, naively applied, fails in the Lorentzian analogue anti-de Sitter space: discrete subgroups do not act properly discontinuously, and in many cases the set of accumulation points of orbits at the conformal boundary at infinity depends on the orbit. In this survey, we point out a way to extend this classical theory by introducing causality notions: the theory of limit sets and regularity domains extend naturally to achronal subgroups. This is closely related to the notions of globally hyper-bolic spacetimes, and we present what is known about the classification of globally hyperbolic spacetimes of constant curvature. We also review the close connection revealed by G. Mess ([79]) between globally hyperbolic spacetimes of dimension 2 + 1 and Teichm{\\"u}ller space. This link can be understood via the space of time-like geodesics of anti-de Sitter space, and this space has also an interesting role, presented here, in the recent works about proper group actions on spacetimes of constant curvature.

研究动机与目标

• 将基于双曲几何的经典克莱因群理论扩展至洛伦兹几何设定，以因果性作为基础概念。
• 解决由于非紧稳定子导致的标准克莱因群性质（如轨道极限的一致性、作用的离散性）在反德西特空间中失效的问题。
• 对常曲率的全局双曲时空（特别是2+1维情形）进行分类，并通过G. 梅斯的工作将其与泰希缪勒空间联系起来。
• 分析常曲率时空中的适当群作用，尤其关注马尔古利时空和阿诺索夫表示的背景。
• 阐明类时测地线与叶状结构在刻画反德西特空间及平坦洛伦兹空间中适当作用的离散群中的作用。

提出的方法

• 引入因果性概念，如无时序子群，其保持时空的因果结构，从而实现极限集理论的一致性推广。
• 利用反德西特空间的共形边界（即爱因斯坦宇宙 Ein^{1,n-1}）作为定义极限集的自然设定。
• 应用全局双曲时空（MGHC）理论对常曲率洛伦兹流形进行分类，尤其关注AdS、dS及平坦情形。
• 依赖于将AdS^{1,2}识别为PSL(2,R) × PSL(2,R)中的矩阵空间，从而通过表示实现对时空的几何解释。
• 应用不可见域的概念——即从极限集不可见的区域——其中无时序群实现离散作用。
• 利用阿诺索夫表示与马尔古利不变量来刻画适当作用，尤其在平坦与AdS时空中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准性质（如轨道极限的一致性）失效的背景下，如何将经典克莱因群理论扩展至洛伦兹几何？
• RQ2 因果性在定义反德西特空间中行为良好的离散群作用中扮演何种角色？
• RQ3 2+1维常曲率全局双曲时空如何分类？其与泰希缪勒空间有何关联？
• RQ4 何种条件可确保离散等距子群在反德西特或平坦洛伦兹空间上实现适当离散作用？
• RQ5 能否通过类时测地线的叶状结构或AdS上的复结构来理解时空上适当作用的结构？

主要发现

• 反德西特空间中等距变换的无时序子群在共形边界（即爱因斯坦宇宙）上具有明确定义的极限集，推广了双曲情形。
• 在AdS中，适当离散作用并非作用于整个空间，而是作用于不可见域——即从极限集不可见的点——从而实现了克莱因群理论的几何推广。
• 在2+1维情形中，常曲率全局双曲时空通过泰希缪勒空间分类，其依据是G. 梅斯建立的反德西特时空与一对双曲结构之间的对应关系。
• 马尔古利时空（R^{1,2}关于离散群的商）微分同胚于处理体，并具有由弯曲平面界定的基本域，其适当性由马尔古利不变量决定。
• 源自PSL(2,R) × PSL(2,R)中阿诺索夫表示的马尔古利AdS时空由类时测地线叶状覆盖，且为高余维结构的无穷小极限。
• 与平坦马尔古利时空不同，马尔古利AdS时空未必具有弯曲基本域，表明其几何实现存在结构性差异。