[论文解读] Lorentzian Manifolds and Causal Sets as Partially Ordered Measure Spaces

L. Bombelli, Johan Noldus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 16被引用 19

一句话总结

本文提出一个框架，将洛伦兹流形和因果集视为部分有序测度空间，通过因果序和体积测度统一其结构。该框架引入了一个协变距离函数，用于量化两个此类空间之间的接近程度，从而为因果集的流形相似性或不同时空之间的相似性提供定量度量。

ABSTRACT

We consider Lorentzian manifolds as examples of partially ordered measure spaces, sets endowed with compatible partial order relations and measures, in this case given by the causal structure and the volume element defined by each Lorentzian metric. This places the structure normally used to describe spacetime in geometrical theories of gravity in a more general context, which includes the locally finite partially ordered sets of the causal set approach to quantum gravity. We then introduce a function characterizing the closeness between any two partially ordered measure spaces and show that, when restricted to compact spaces satisfying a simple separability condition, it is a distance. In particular, this provides a quantitative, covariant way of describing how close two manifolds with Lorentzian metrics are, or how manifoldlike a causal set is.

研究动机与目标

• 将洛伦兹流形和因果集在部分有序测度空间的统一数学框架下进行统一描述。
• 解决如何量化因果集与洛伦兹时空接近程度的挑战。
• 在部分有序测度空间上定义一个具有几何意义、协变的度量，以尊重因果序和测度结构。
• 为比较时空或评估离散因果集的流形相似性，提供一个严格的数学工具。

提出的方法

• 利用因果结构和体积测度，将洛伦兹流形和因果集表示为部分有序测度空间。
• 基于其序结构和测度相容性，定义一个衡量任意两个此类空间接近程度的函数。
• 将该函数限制在满足简单可分性条件的紧致空间上，以确保其满足度量公理。
• 证明在这些条件下，该函数成为真正的度量函数，从而实现定量比较。
• 利用所得度量评估因果集在多大程度上近似于洛伦兹流形。
• 将该框架应用于连续时空和离散因果集，实现跨理论比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在共同的数学结构下正式统一洛伦兹流形和因果集？
• RQ2 是否存在一种合适、协变且数学上严谨的方法，用于量化两个时空之间或因果集与流形之间的相似性？
• RQ3 是否可以在部分有序测度空间上定义一个同时尊重因果序和测度结构的距离函数？
• RQ4 在何种条件下，该距离函数在紧致、可分空间上成为正规度量？
• RQ5 该框架在多大程度上可用于评估因果集的流形相似性？

主要发现

• 所提出的函数在紧致、可分的部分有序测度空间上构成有效度量，满足所有度量公理。
• 该框架实现了洛伦兹流形和因果集之间协变、具有几何意义的比较。
• 该距离函数量化了因果集与洛伦兹时空的接近程度，提供了流形相似性的度量。
• 该方法适用于连续时空和离散因果集，实现了跨理论分析。
• 该构造保持了时空的因果和测度结构，确保了物理相关性。