[论文解读] Lorentzian manifolds with transitive conformal group

Dmitri V. Alekseevsky|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文将具有传递性且本质性的共形群的洛伦兹流形分为两类：一类是同伦表示非精确的（类型 A），另一类是同伦表示精确的（类型 B）。它对具有传递性本质共形群的四维非共形平坦洛伦兹流形进行了完整分类，表明它们全部共形等距于一个特定构造，该构造涉及一个海森堡型李代数和一个共形伸缩生成元。

ABSTRACT

We study pseudo-Riemanniasn manifolds $(M,g)$ with transitive group of conformal transformation which is essential, i.e. does not preserves any metric conformal to $g$. All such manifolds of Lorentz signature with non exact isotropy representation of the stability subalgebra are described. A construction of essential conformally homogeneous manifolds with exact isotropy represenatation is given. Using spinor formalism, we prove that it provides all 4-dimensional non conformally flat Lorentzian 4-dimensional manifolds with transitive essentially conformal group.

研究动机与目标

• 基于同伦表示，将具有传递性且本质共形群的洛伦兹流形分类为两类。
• 对具有传递性本质共形群的四维非共形平坦洛伦兹流形提供完整分类。
• 利用具有共形伸缩生成元的分次李代数结构，构造一类新的类型 B 共形齐次流形。
• 证明所有此类四维流形均共形等距于一个涉及海森堡代数和非平凡共形伸缩的特定几何构造。
• 使用旋量形式语言，证明四维情况下分类的完备性。

提出的方法

• 利用共形群的关联分次李代数结构，将李代数分解为 $\mathfrak{g}^{-1} = V$，$\mathfrak{g}^0 = j(\mathfrak{h})$，和 $\mathfrak{g}^1 = \ker j$。
• 对伪欧几里得空间应用标准分解 $V = \mathbb{R}p + E + \mathbb{R}q$，以分析同伦表示并识别共形伸缩 $D = \mathrm{id} + q \wedge p$。
• 通过分次李代数 $\mathfrak{g} = \mathbb{R}D + V$ 构造一个共形齐次流形 $M = G/H$，其中 $V = \mathbb{R}p + \mathfrak{heis}(E) + \mathbb{R}q$，$\mathfrak{heis}(E)$ 是由 $E$ 上的非退化 2-形式 $\omega$ 定义的海森堡代数。
• 施加条件 $ (A\cdot\omega)(x,y) = \lambda\omega(x,y) $，以确保 $A$ 是海森堡代数的导子，从而保持分次结构。
• 使用旋量形式语言，并分析 $\mathbb{S}^2$ 中的四阶形式，研究外尔张量，证明非共形平坦流形必须具有特定类型的共形伸缩。
• 利用共形群对外尔张量的作用，约束可能的同伦表示，并证明在四维情况下，仅类型 B 流形且满足 $D = \mathrm{id} + q \wedge p$ 者可为非共形平坦。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有传递性且本质共形群但非共形平坦的四维洛伦兹流形的完整分类是什么？
• RQ2 如何构造所有具有精确同伦表示的类型 B 共形齐次洛伦兹流形？
• RQ3 同伦表示和曲率张量需满足何种条件，才能保证一个共形齐次洛伦兹流形非共形平坦？
• RQ4 在四维中，哪些共形结构允许具有传递性本质共形群，其几何实现方式如何？
• RQ5 旋量形式语言能否用于完全分类具有传递共形对称性的四维非共形平坦洛伦兹流形？

主要发现

• 所有具有传递性本质共形群的四维非共形平坦洛伦兹流形，均共形等距于由海森堡代数和共形伸缩生成元 $D = \mathrm{id} + q \wedge p$ 构造的流形 $M(\lambda, \omega, A)$。
• 此类流形的曲率算子由 $R_{px} = (A^a A^s - A^s A - J A^s)x \wedge q$ 给出，其中 $J$ 是由 $g^{-1} \circ \omega = 2J$ 定义的复结构。
• 同伦代数必须包含一个非平凡共形伸缩 $D = \mathrm{id} + C$，其中 $C \in \mathfrak{so}(V)$，在非共形平坦情形下，$C = q \wedge p$（至多相差基变换）。
• 此类流形的外尔张量对应于 Pertov 类型 (4) 或 (31) 的四阶形式，且共形群在其上作用非平凡。
• 通过分次李代数 $\mathfrak{g} = \mathbb{R}D + V$（其中 $V = \mathbb{R}p + \mathfrak{heis}(E) + \mathbb{R}q$）构造类型 B 流形，可得到所有此类非共形平坦四维例子。
• 分类是完备的：除该族之外，不存在其他具有传递性本质共形群的四维非共形平坦洛伦兹流形。