[论文解读] Lorenzen's proof of consistency for elementary number theory [with an edition and translation of "Ein halbordnungstheoretischer Widerspruchsfreiheitsbeweis'']

Thierry Coquand, Stefan Neuwirth|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文呈現保羅·洛倫岑於1944年 unpublished 的手稿，該手稿以預序集上的自由可數完全偽補半格為基礎，提供了一種構造性、無切割的初等數論一致性證明。證明依賴於公式與推導的歸納定義，不使用序數賦值，透過對公式複雜度與推導結構的雙重歸納，建立一致性，並顯示演算 N 是一致的，且包含經典謂詞演算。

ABSTRACT

We present a manuscript of Paul Lorenzen that provides a proof of consistency for elementary number theory as an application of the construction of the free countably complete pseudocomplemented semilattice over a preordered set. This manuscript rests in the Oskar-Becker-Nachlass at the Philosophisches Archiv of Universit{ä}t Konstanz, file OB 5-3b-5. It has probably been written between March and May 1944. We also compare this proof to Gentzen's and Novikov's, and provide a translation of the manuscript.

研究动机与目标

• 呈現並翻譯保羅·洛倫岑於1944年 unpublished 的初等數論一致性手稿。
• 展示自由可數完全偽補半格的存在性，形式化了初等數論的一致性內容。
• 將洛倫岑的證明與ゲンツェン及ノヴィコフ的方法比較，強調其構造性與無序數的特徵。
• 確立基於歸納定義與可接受規則的演算 N 是一致的，且包含經典謂詞演算。
• 強調格理論如何透過預序與蘊涵，連結代數（理想理論）與邏輯（命題推理）。

提出的方法

• 在預序集中構造自由可數完全偽補半格，作為演算系統。
• 透過歸納規則定義推導，包含如弱化、收縮與切割等結構規則。
• 透過雙重歸納證明切割規則的可接受性：對切割公式的複雜度與推導結構進行歸納。
• 使用超限前提歸納處理量詞規則與自由變數，確保取代下的封閉性。
• 引入並證明關鍵規則的添加合理性：恆等規則（A → A）、全稱推廣（C → (x)A(x)），以及完全歸納（A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b)）。
• 顯示添加這些規則不會增加可推導關係的集合，從而維持一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛倫岑對初等數論的一致性證明，與ゲンツェン的基於序數的方法有何不同？
• RQ2 自由可數完全偽補半格的構造，如何捕捉初等數論中一致性的形式內容？
• RQ3 是否能僅透過推導的歸納定義，在不賦予序數的情況下實現切割消去？
• RQ4 格理論結構如何形式化代數中的理想理論與邏輯中的證明理論之間的連結？
• RQ5 ω規則與完全歸納在洛倫岑的一致性證明中扮演何種角色？為何可添加而不增加可推導關係的集合？

主要发现

• 演算 N 是一致的，因為空關係 → 在基礎系統 P 中不可推導，而 P 是 N 的子集，且僅內容正確的關係成立。
• 切割規則的可接受性透過對公式複雜度與推導結構的雙重歸納證明，不使用序數賦值。
• 針對自由變數的規則 A(a) → A(n) 是可接受的，且可透過超限前提歸納添加而不增加可推導關係的集合。
• 恆等規則 A → A 對所有公式（包括原子公式）皆可推導，方法是結合 →P 與 P → 以推導 P → P。
• 完全歸納規則 A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b) 是可接受的，且可透過切割規則的 m 次應用添加而不擴展可推導關係的集合。
• 整體演算 N（含所有可接受規則）包含一階邏輯的經典演算，從而證明初等數論的一致性。