[论文解读] Losing Connection:the Modal Logic of Definable Link Deletion

Dazhu Li|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了可定义破坏模态逻辑（SdML），一种用于建模图游戏的模态逻辑，其中对抗性玩家根据可定义的节点属性删除边。该文提出了一个一阶翻译、一种新颖的 bisimulation 框架，并证明了 SdML 的不可判定性、缺乏有限模型性质和树模型性质，以及相对于动态-认识逻辑的不完备性。

ABSTRACT

In this article, we start with a two-player game that models communication under adverse circumstances in everyday life and study it from the perspective of a modal logic of graphs, where links can be deleted locally according to definitions available to the adversarial player. We first introduce a new language, semantics, and some typical validities. We then formulate a new type of first-order translation for this modal logic and prove its correctness. Then, a novel notion of bisimulation is proposed which leads to a characterization theorem for the logic as a fragment of first-order logic, and a further investigation is made of its expressive power against hybrid modal languages. Next, we discuss how to axiomatize this logic of link deletion, using dynamic-epistemic logics as a contrast. Finally, we show that our new modal logic lacks both the tree model property and the finite model property, and that its satisfiability problem is undecidable.

研究动机与目标

• 为了形式化一种现实的图游戏，其中对手根据可定义的节点属性删除边，以建模现实世界中的通信中断。
• 为了开发一种新的模态逻辑 SdML，以捕捉在可定义条件下边删除的战略动态。
• 为了提供 SdML 的一阶翻译并证明其正确性，从而支持模型论分析。
• 为了引入一种新颖的 bisimulation 概念，将 SdML 表征为一阶逻辑的一个片段。
• 为了研究 SdML 相对于混合逻辑和动态-认识逻辑的表达能力，并在扩展的混合框架中使用递归公理对其进行公理化。

提出的方法

• 提出一种新的模态语言，其中包含一个动态模态 $[-]$，用于删除从当前状态出发、指向满足指定原子性质的节点的所有出边。
• 在有向图上为 SdML 定义一种类似 Kripke 的语义，其中转移关系通过可定义的边删除被修改。
• 构建一个非平凡的一阶翻译用于 SdML，该翻译在所有模型中保持真值，并通过公式结构的归纳法证明其正确性。
• 引入一种新的 bisimulation 概念——可定义破坏 bisimulation，用于将 SdML 表征为一阶逻辑的一个片段。
• 使用混合逻辑中的 spy-point 技术证明不可判定性，方法上借鉴了 [13] 和 [2] 的工作。
• 在扩展的混合语言中使用递归公理对 SdML 进行公理化，与标准动态-认识逻辑方法形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何设计一种模态逻辑，以捕捉基于节点属性的局部、可定义的边删除，适用于图基游戏？
• RQ2 SdML 相对于标准模态逻辑、动态-认识逻辑和混合逻辑的表达能力如何？
• RQ3 能否为 SdML 构建一个正确捕捉其语义的一阶翻译？
• RQ4 SdML 是否满足有限模型性质或树模型性质，其对可判定性有何影响？
• RQ5 SdML 的满足性问题是否可判定，其不可判定性的根源是什么？

主要发现

• SdML 不能作为标准 bisimulation 下不变的一阶逻辑片段表达，但可通过一种新颖的可定义破坏 bisimulation 被表征。
• 该逻辑 SdML 缺乏有限模型性质和树模型性质，通过模型构造得以证明。
• SdML 的满足性问题是不可判定的，通过从混合逻辑文献中改编的 spy-point 技术证明。
• SdML 严格强于标准模态逻辑和如公共告知逻辑等动态-认识逻辑，但无法通过标准递归公理进行公理化。
• SdML 与 SML（破坏模态逻辑）不等价，二者在表达能力上存在差异，SdML 能够捕捉更复杂的边删除模式。
• 为 SdML 构建了一阶翻译并证明其正确性，为这一类图游戏在模态逻辑与一阶逻辑之间架起了桥梁。