[论文解读] Loss of memory of random functions of Markov chains and Lyapunov exponents

Pierre Collet, Florencia Leonardi|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文证明，马尔可夫链的随机函数中，记忆衰减的渐近指数速率被与该系统相关联的矩阵乘积的前两个李雅普诺夫指数之差所上界限定。此外，本文进一步证明，对于该过程的典型实现，该上界几乎必然被达到，表明系统表现出无限记忆性，且在适当的符号选择下，该上界是紧确的。

ABSTRACT

Abstract. In this paper we prove that the asymptotic rate of exponential loss of memory of a random function of a Markov chain (Zt)t∈Z is bounded above by the difference of the first two Lyapunov exponents of a certain product of matrices. We also show that this bound is in fact realized, namely for almost all realization of the process (Zt)t∈Z, we can find symbols where the asymptotic exponential rate of loss of memory attains the difference of the first two Lyapunov exponents. This shows that the process has infinite memory and leads to a lower bound on the asymptotic exponential loss of memory which is saturated (and equal to the upper bound for an adequate choice of the symbols) on a set of full measure. 1.

研究动机与目标

• 确定马尔可夫链的随机函数中记忆衰减的渐近指数速率。
• 利用与系统相关联的矩阵乘积的李雅普诺夫指数，建立该速率的上界。
• 研究该上界在该过程的典型实现下是否紧确且可实现。
• 通过证明该上界在全测度集合上被饱和，表明系统保持无限记忆。

提出的方法

• 分析基于随机矩阵乘积及其李雅普诺夫指数的理论。
• 作者定义了一个矩阵乘积，其李雅普诺夫指数控制了系统中扰动的增长速率。
• 他们利用前两个李雅普诺夫指数之差，推导出记忆衰减速率的上界。
• 利用遍历理论和几乎必然收敛，证明该上界几乎必然被马尔可夫链的典型实现所达到。
• 证明涉及在状态空间上构建符号动力系统，以将记忆衰减与矩阵乘积的行为联系起来。
• 分析利用乘法遍历定理，刻画了矩阵乘积的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 马尔可夫链的随机函数中，记忆衰减的渐近指数速率是多少？
• RQ2 该速率能否通过关联矩阵乘积的李雅普诺夫指数被上界限定？
• RQ3 该记忆衰减速率的上界是否在该过程的几乎所有实现中被实际达到？
• RQ4 系统是否表现出无限记忆性？若是，其条件是什么？
• RQ5 在何种符号条件下，记忆衰减的上界被饱和？

主要发现

• 与关联矩阵乘积的前两个李雅普诺夫指数之差相比，记忆衰减的渐近指数速率被上界限定。
• 对于马尔可夫链过程的几乎所有实现，该上界几乎必然被达到。
• 系统表现出无限记忆性，因为记忆衰减速率严格为正，且被李雅普诺夫指数之差所限定。
• 在适当的符号选择下，记忆衰减的上界在全测度集合上被饱和。
• 该上界不仅是理论上的，而且在典型实现中实际被实现，证实了其紧确性。
• 结果表明，矩阵乘积的动力稳定性与随机函数的记忆特性之间存在精确对应关系。