[论文解读] Lossy kernels for connected distance-$r$ domination on nowhere dense graph classes

Sebastian Siebertz|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文证明，对于任意无处稠密图类及任意距离 $ r $，连通距离-$ r $支配集问题在任意 $ \alpha > 1 $ 下均存在大小为多项式级别的 $ \alpha $-近似双核。关键结果为一个紧致的刻画：此类损失核仅存在于无处稠密类中，因为在更一般的、局部稠密类上，根据间隙指数时间假设（Gap Exponential Time Hypothesis），此类核不可能存在。

ABSTRACT

For $α\colon\mathbb{N} ightarrow\mathbb{R}$, an $α$-approximate bi-kernel is a polynomial-time algorithm that takes as input an instance $(I, k)$ of a problem $Q$ and outputs an instance $(I',k')$ of a problem $Q'$ of size bounded by a function of $k$ such that, for every $c\geq 1$, a $c$-approximate solution for the new instance can be turned into a $c\cdotα(k)$-approximate solution of the original instance in polynomial time. This framework of \emph{lossy kernelization} was recently introduced by Lokshtanov et al. We prove that for every nowhere dense class of graphs, every $α>1$ and $r\in\mathbb{N}$ there exists a polynomial $p$ (whose degree depends only on $r$ while its coefficients depend on $α$) such that the connected distance-$r$ dominating set problem with parameter $k$ admits an $α$-approximate bi-kernel of size $p(k)$. Furthermore, we show that this result cannot be extended to more general classes of graphs which are closed under taking subgraphs by showing that if a class $C$ is somewhere dense and closed under taking subgraphs, then for some value of $r\in\mathbb{N}$ there cannot exist an $α$-approximate bi-kernel for the (connected) distance-$r$ dominating set problem on $C$ for any function $α\colon\mathbb{N} ightarrow\mathbb{R}$ (assuming the Gap Exponential Time Hypothesis).

研究动机与目标

• 确定在参数化近似算法中，连通距离-$ r $支配集问题的损失核存在性的精确边界。
• 识别出可构造此类核的最广义图类——特别是无处稠密类。
• 证明该结果无法推广至更一般的、对子图封闭的局部稠密图类。
• 建立图类的结构性质与近似核化可行性之间的紧密联系。

提出的方法

• 利用损失核化框架，其中预处理算法在保持近似保证的前提下将实例缩减为更小的实例。
• 使用 $ (k,r) $-支配核心的概念，构建一个大小为多项式且能保持 $ \alpha $-近似解的实例。
• 应用结构图论工具，特别是通过有界扩张和低树深分解对无处稠密类进行刻画。
• 通过从集合覆盖问题到距离-$ r $支配集问题的归约，证明若图类为局部稠密，则在间隙-ETH下不存在近似核。
• 利用 Lokshtanov 等人提出的固定参数可追踪近似算法与近似核化之间的等价性，将下界结果进行转移。
• 证明每个无处稠密类均存在大小为 $ k $ 的多项式级别 $ (k,r) $-支配核心，其度数依赖于 $ r $，系数依赖于 $ \alpha $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在无处稠密图类上为连通距离-$ r $支配集问题构造损失核？
• RQ2 存在近似核与不存在近似核的图类之间的精确边界是什么？
• RQ3 此类核的存在性是否依赖于图类的结构性质，如无处稠密性？
• RQ4 能否将核的多项式大小界改进为伪线性大小？
• RQ5 在标准复杂性假设下，局部稠密类上近似核的不存在性是否成立？

主要发现

• 对于每个无处稠密图类、每个 $ \alpha > 1 $ 及每个 $ r \in \mathbb{N} $，存在一个多项式 $ p(k) $，使得连通距离-$ r $支配集问题存在一个大小为 $ p(k) $ 的 $ \alpha $-近似双核，其次数依赖于 $ r $，系数依赖于 $ \alpha $。
• 该结果是紧致的：若图类为局部稠密且对子图封闭，则在假设间隙指数时间假设下，对任意函数 $ \alpha $，均不存在 $ \alpha $-近似双核。
• 下界通过从集合覆盖到距离-$ r $支配集的参数化归约建立，且精确保持参数 $ k $。
• 该构造依赖于无处稠密类中存在大小为多项式的 $ (k,r) $-支配核心，这些核心用于在保持近似比的前提下压缩实例。
• 本文表明，此类图类上的连通距离-$ r $支配集问题存在大小为 $ k $ 的多项式级别损失核，尽管原始问题为 W[2]-难。
• 本工作提供了完整的刻画：此类问题的损失核存在当且仅当其底层图类为无处稠密。