[论文解读] Lotka-Volterra with randomly fluctuating environments: a full description

Florent Malrieu, Tran Hoa Phu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文对具有随机环境切换的两物种Lotka-Volterra系统中的长期行为提供了完整分类。通过分析依赖于两环境间跳跃速率的入侵速率，证明了无论环境类型如何，任意一对环境均可导致四种可能的长期结果：两物种共存、某一物种几乎Sure灭绝，或某一物种随机灭绝——具体取决于切换动力学。

ABSTRACT

In this note, we study the long time behavior of Lotka-Volterra systems whose coefficients vary randomly. Benam and Lobry established that randomly switching between two environments that are both favorable to the same species may lead to four different regimes: almost sure extinction of one of the two species, random extinction of one species or the other and persistence of both species. Our purpose here is to provide a complete description of the model. In particular, we show that any couple of environments may lead to the four different behaviours of the stochastic process depending on the jump rates.

研究动机与目标

• 全面表征随机环境切换下Lotka-Volterra系统的长期随机行为。
• 解决一个令人惊讶的现象：两个对物种有利的环境（例如，类型1）可能因切换速率不同而产生多种长期结果。
• 建立基于参数的灭绝、共存及随机灭绝状态的完整分类。
• 推导入侵速率作为切换速率与环境参数函数的显式表达式。
• 证明无论初始环境类型如何（包括共存或有利环境），四种动力学状态均可能实现。

提出的方法

• 将系统建模为具有两个环境状态的连续时间马尔可夫过程（PDMP），其在随机速率λ₀和λ₁下切换。
• 定义入侵速率Λₓ和Λᵧ，即当另一物种接近灭绝时，每种群的平均增长率，利用边际过程的不变测度。
• 通过(u,v)坐标重参数化跳跃速率，以解耦内在动力学与切换频率的影响。
• 将入侵速率Λₓ和Λᵧ表示为涉及随机变量Uᵤ,ᵥ的期望，该变量在切换动力学下具有时间平稳分布。
• 利用入侵速率的符号对长期行为进行分类：正表示入侵，负表示排斥。
• 分析入侵速率零点集，以确定参数空间(u,v)中区分不同状态区域的临界曲线vₓ(u)和vᵧ(u)。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意一对环境类型（例如，类型1–1、类型3–3等）是否均可导致四种长期行为：共存、x灭绝、y灭绝及随机灭绝？
• RQ2 切换速率(λ₀, λ₁)如何影响随机切换Lotka-Volterra系统中的长期稳定性与灭绝动力学？
• RQ3 什么决定了系统表现出共存、几乎Sure灭绝或某一物种随机灭绝？
• RQ4 在何种条件下物种的入侵速率消失，这又如何影响长期行为？
• RQ5 两个对同一物种均有利的环境（例如，类型1）是否仍可能因切换动力学导致该物种随机灭绝？

主要发现

• 无论环境类型如何，任意一对环境均可根据切换速率导致四种长期行为（共存、x灭绝、y灭绝、随机灭绝）。
• 临界切换速率曲线vₓ(u)和vᵧ(u)将(u,v)参数空间划分为不同长期行为发生的区域。
• 对于类型1–1环境，入侵速率Λᵧ可表示为涉及函数φ(y)与随机变量Uᵤ,ᵥ的期望，其符号决定灭绝或共存。
• 当两个环境均为类型3（共存型）时，系统仍可能因切换而出现某一物种灭绝，表明环境噪声具有非单调效应。
• 入侵速率函数的零点集是闭集，临界曲线vₓ(u)与vᵧ(u)在某些区域连续且单调，且满足vᵧ(u) → ∞当u → 0，vᵧ(u) → 0当u → 1。
• 数值结果证实，通过调节切换速率可实现多达四种不同状态，包括在确定性系统中不存在的新状态——随机灭绝。