[论文解读] Low congestion online routing and an improved mistake bound for online prediction of graph labeling

Jittat Fakcharoenphol, Boonserm Kijsirikul|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了一种在线低拥塞路由与在线图标签预测之间的新联系，表明任何保证边拥塞 ≤α 的路由算法，均可导出一个错误界限 ≤α·|cut(ℓ)| 的预测算法。对于树结构，该方法可实现 O(log n)·|cut(ℓ)| 的错误界限，优于基于有效电阻或聚类结构的先前方法，并通过纯组合证明推广至非二元标签。

ABSTRACT

In this paper, we show a connection between a certain online low-congestion routing problem and an online prediction of graph labeling. More specifically, we prove that if there exists a routing scheme that guarantees a congestion of $α$ on any edge, there exists an online prediction algorithm with mistake bound $α$ times the cut size, which is the size of the cut induced by the label partitioning of graph vertices. With previous known bound of $O(\log n)$ for $α$ for the routing problem on trees with $n$ vertices, we obtain an improved prediction algorithm for graphs with high effective resistance. In contrast to previous approaches that move the graph problem into problems in vector space using graph Laplacian and rely on the analysis of the perceptron algorithm, our proof are purely combinatorial. Further more, our approach directly generalizes to the case where labels are not binary.

研究动机与目标

• 建立在线低拥塞路由与在线图顶点标签预测之间理论联系。
• 基于路由拥塞保证，推导出在线标签预测的错误界限。
• 通过纯组合方法，改进依赖图拉普拉斯矩阵或有效电阻的现有错误界限。
• 将结果推广至非二元标签函数。

提出的方法

• 提出一种预测算法，将每个新查询路由至先前已标记的顶点，使用给定的路由方案。
• 将每次预测错误归因于路由路径上的一个割边，确保若拥塞被限制为 α，则每条割边最多被计费 α 次。
• 利用树上在线路由已知的 O(log n) 拥塞界，推导出图标签预测的 O(log n)·|cut(ℓ)| 错误界限。
• 证明该方法适用于一般标签集 L，而不仅限于二元标签，且错误界限保持不变。
• 证明该界对路径图而言是紧的（至多相差常数因子）。
• 采用计费论证方法，避免使用向量空间嵌入或核方法，与先前使用感知机或拉普拉斯分析的方法不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用在线路由拥塞界，推导出在线图标签预测的改进错误界限？
• RQ2 与基于图拉普拉斯或感知机的现有方法相比，该组合路由基础方法在错误界限质量上表现如何？
• RQ3 所提方法是否可推广至非二元标签函数？
• RQ4 该路由到预测的归约能否产生优于基于有效电阻或聚类结构的界限？
• RQ5 O(log n)·|cut(ℓ)| 的界限对一般图是否最优，或可进一步改进？

主要发现

• 本文建立了从拥塞为 α 的在线路由到错误界限为 α·|cut(ℓ)| 的在线标签预测的直接归约。
• 对于树结构，Awerbuch 和 Azar 的 O(log n) 拥塞界意味着预测的错误界限为 O(log n)·|cut(ℓ)|。
• 该方法为纯组合方法，不依赖图拉普拉斯矩阵或核方法，与先前方法不同。
• 当有效电阻 R_G = Ω(log n) 时（如在路径图中），该界优于 Herbster 等人的 O(R_G · |cut(ℓ)|) 界。
• 对于路径图，该界是紧的（至多相差常数因子），因为对手可强制产生 Ω(log n) 次错误。
• 该方法可推广至非二元标签，错误界限保持不变，且计费机制相同。