[论文解读] Low-depth unitary quantum circuits for dualities in one-dimensional quantum lattice models

Laurens Lootens, Clement Delcamp+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2023

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文提出一种方法，通过引入跟踪拓扑子空间的辅助自由度，在低深度幺正量子线路中实现一维量子格点模型中的对偶性。结果表明，一般对偶性可在线性深度实现，而幂零对偶性则通过含测量的自适应线路实现常数深度，从而实现纠缠态的高效制备以及能隙边界之间的映射。

ABSTRACT

A systematic approach to dualities in symmetric (1+1)d quantum lattice models has recently been proposed in terms of module categories over the symmetry fusion categories. By characterizing the non-trivial way in which dualities intertwine closed boundary conditions and charge sectors, these can be implemented by unitary matrix product operators. In this manuscript, we explain how to turn such duality operators into unitary linear depth quantum circuits via the introduction of ancillary degrees of freedom that keep track of the various sectors. The linear depth is consistent with the fact that these dualities change the phase of the states on which they act. When supplemented with measurements, we show that dualities with respect to symmetries encoded into nilpotent fusion categories can be realised in constant depth. The resulting circuits can for instance be used to efficiently prepare short- and long-range entangled states or map between different gapped boundaries of (2+1)d topological models.

研究动机与目标

• 为(1+1)d对称量子格点模型中的对偶性提供一种系统化的量子线路实现方法，使用幺正线路。
• 通过引入辅助自由度来追踪电荷子空间和边界条件，解决对偶性在固定希尔伯特空间上不可逆的挑战。
• 证明当引入辅助比特时，对偶算符可作为线性深度的幺正线路实现；当使用测量时，可实现常数深度。
• 将先前针对阿贝尔对称性的构造推广至任意融合范畴，包括非阿贝尔和幂零情形。
• 通过在不同能隙边界之间映射和制备拓扑序态，使对偶性在量子装置上实现成为可能。

提出的方法

• 该方法使用对称性融合范畴上的模范畴对对偶性进行分类，对偶算符以实现电荷子空间和边界条件互换的矩阵乘积算符（MPO）形式表示。
• 引入辅助自由度以追踪拓扑子空间，使MPO可嵌入幺正量子线路。
• 通过在辅助比特中编码子空间信息，构建线性深度线路，确保对偶性在完整希尔伯特空间上幺正实现。
• 对于幂零对偶性，利用含测量和经典通信的自适应量子线路，将深度降低至常数，将态投影至确定的子空间。
• 该构造利用模函子的结合律及由融合范畴中对象标记的对称性扭变，通过测量更新群-类似变量以追踪融合路径。
• 线路架构按顺序应用对称性和复合门，每步测量均更新对称性线的标签，以保持与融合规则的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在(1+1)d量子格点模型中实现对偶性，尽管其在固定希尔伯特空间上不可逆？
• RQ2 实现一般对偶变换所需的最小线路深度是多少？其如何依赖于对称性结构？
• RQ3 当允许测量和经典通信时，常数深度量子线路能否实现对偶性？在何种条件下可以？
• RQ4 辅助自由度如何使非幺正的对偶MPO转化为幺正线路？
• RQ5 该框架在多大程度上可推广至(2+1)d拓扑模型和非阿贝尔 anyons？

主要发现

• 通过引入追踪拓扑子空间和边界条件的辅助自由度，(1+1)d量子格点模型中的对偶性可作为线性深度的幺正量子线路实现。
• 所得线路在完整希尔伯特空间上实现对偶性为幺正变换，对偶算符在子空间基下表现为MPO的线性组合。
• 对于幂零对偶性（即对偶对称性编码于幂零融合范畴中），可通过含测量和经典通信的自适应线路实现常数深度的对偶性实现。
• 该构造推广了已知的阿贝尔对称性结果，并重现了先前针对此类情况的常数深度线路。
• 该方法可高效制备短程和远程纠缠态，并在(2+1)d拓扑模型中实现不同能隙边界之间的映射。
• 该框架可扩展至(2+1)d拓扑序相，为在量子设备上实现奇异任意子相提供了可行路径。