[论文解读] Low-dimensional firing rate dynamics of spiking neuron networks

Maurizio Mattia|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Neural dynamics and brain function参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文通过将膜电位密度的福克-普朗克方程进行谱展开，推导出脉冲神经元网络集体发放率的低维常微分方程（ODE）。在二阶近似下，所得动力学能够捕捉由福克-普朗克算子最慢的特征模态决定的、与状态相关的阻尼振荡，其频率和弛豫时间由这些模态确定，从而为一类广泛的单 compartment 神经元模型提供了一种可处理的平均场描述。

ABSTRACT

Starting from a spectral expansion of the Fokker-Plank equation for the membrane potential density in a network of spiking neurons, a low-dimensional dynamics of the collective firing rate is derived. As a result a $n$-order ordinary differential equation for the network activity can be worked out by taking into account the slowest $n$ modes of the expansion. The resulting low-dimensional dynamics naturally takes into account the strength of the synaptic couplings under the hypothesis of a not too fast changing membrane potential density. By considering only the two slowest modes, the firing rate dynamics is equivalent to the one of a damped oscillator in which the angular frequency and the relaxation time are state-dependent. The presented results apply to a wide class of networks of one-compartment neuron models.

研究动机与目标

• 从膜电位密度的福克-普朗克方程推导集体网络活动的低维动力学描述。
• 通过引入福克-普朗克算子的谱模态，克服传统平均场近似的局限性。
• 为具有任意突触耦合的多样化单 compartment 神经元模型提供一个通用框架。
• 表明最慢模态可产生具有与状态相关的频率和弛豫时间的阻尼振荡型发放率动力学。

提出的方法

• 对福克-普朗克（FP）算子进行谱展开，将膜电位密度分解为 FP 方程的特征模态。
• 通过时间依赖的特征基 $ \{ \phi_n \} 上的展开系数 $ a_n(t) $ 表达网络活动，这些系数依赖于瞬时发放率 $ \nu(t) $。
• 利用特征值 $ \lambda_n $ 和耦合项 $ \vec{c}, \mathbf{C} $，推导出 $ \vec{a} $ 的时间导数与 $ \nu $ 及其导数之间的方程组。
• 将展开截断至 $ n $ 阶，并利用非经典范德蒙德矩阵的逆来消除 $ a_n $，从而得到 $ \nu(t) $ 的闭合 ODE。
• 聚焦于二阶近似（$ n=2 $），获得一个描述具有与状态相关的角频率和弛豫时间的阻尼振荡的二阶 ODE。
• 通过引入外部驱动项，将框架扩展至非平稳输入，并推导出一个绝热近似，得到一个具有时变驱动项的一阶 ODE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过福克-普朗克方程推导出的低维 ODE 准确描述脉冲神经元网络的集体发放率动力学？
• RQ2 突触耦合强度和输入统计特性如何影响发放率中出现的振荡行为？
• RQ3 福克-普朗克算子的最慢特征模态在塑造网络集体动力学中起什么作用？
• RQ4 所推导的 ODE 是否能在不显式引入振荡器模型的情况下捕捉与状态相关的频率和弛豫时间？
• RQ5 该框架如何推广至非平稳外部输入？在缓慢调制条件下，哪些近似是有效的？

主要发现

• 发放率动力学的二阶近似产生一个具有与状态相关的角频率和弛豫时间的阻尼振荡方程，其来源于福克-普朗克算子的前两个最慢特征模态。
• 弛豫时间 $ \tau $ 与突触强度 $ J $ 无关，但取决于输入电流的均值和方差，且在 VIF 神经元中，$ 1/\tau $ 可被 $ \mu $ 和 $ \nu $ 的线性组合良好近似。
• 无论是兴奋性（$ J > 0 $）还是抑制性（$ J < 0 $）耦合，均能产生阻尼振荡；当 $ J > 0 $ 时，即使漂移为负，也能出现振荡行为。
• 所推导的 ODE（公式 4）仅依赖于特征值 $ \lambda_n $ 和增益函数 $ \Phi $，从而实现了无需模型假设的、可推广的网络活动描述。
• 对于缓慢变化的外部输入，绝热近似可导出一阶 ODE $ \tau \dot{\nu} = \Phi - \nu + F $，其中 $ \tau $ 为与活动相关的量，$ F $ 为时变驱动项。
• 该框架适用于广泛的一类单 compartment 神经元模型，并提供了一种系统性地将高维脉冲动力学简化为低维 ODE 的方法，而无需依赖人为假设。