[论文解读] Low energy 2+1 string gravity; black hole solutions

A. A. Garcia Diaz, G. Gutierrez Cano|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 23

一句话总结

本文推导了2+1维杂交弦理论引力在弦框架和爱因斯坦框架下的低能有效方程，识别出精确的黑洞解，包括Horne–Horowitz和Chan–Mann标量场黑洞，并通过SL(2,R)变换构造了旋转带电解。主要贡献在于显式推导并统一了2+1维弦黑洞解，包括其与宇宙学常数和标量场的关系。

ABSTRACT

In this report a detailed derivation of the dynamical equations for an n dimensional heterotic string theory of the Horowitz type is carried out in the string frame and in the Einstein frame too. In particular, the dynamical equations of the three dimensional string theory are explicitly given. The relation of the Horowitz Welch and Horne Horowitz string black hole solution is exhibited. The Chan Mann charged dilaton solution is derived and the subclass of string solutions field is explicitly identified. The stationary generalization, via SL(2;R) transformations, of the static (2+1) Horne Horowitz string black hole solution is given.

研究动机与目标

• 推导$n$维杂交弦理论在弦框架和爱因斯坦框架下的低能有效场方程。
• 将推导出的方程特化至2+1维，并在此背景下识别精确的黑洞解。
• 建立2+1维弦引力中Horne–Horowitz与Horowitz–Welch黑洞解之间的关系。
• 推导并表征2+1维中的Chan–Mann带电标量场黑洞解。
• 通过$SL(2,R)$变换对Killing向量进行推广，将静态的Horne–Horowitz解推广为旋转解。

提出的方法

• 推导含度规$g_{\mu\nu}$、标量场$\Phi$、麦克斯韦场$F_{\mu\nu}$及三形式$H_{\mu\nu\lambda}$的$n$维杂交弦作用量，其中$H = dB - a A \wedge dF$。
• 对作用量进行变分法计算，获得弦框架下的场方程，包括对度规、标量场、规范场及三形式的变分。
• 通过Weyl标度假设将弦框架方程转换为爱因斯坦框架，保持理论的物理内容不变。
• 在静态、轴对称及对数标量场假设$\Psi(r) = k \ln r$下求解得到的爱因斯坦–麦克斯韦–标量场方程。
• 对Killing向量场$t, \phi$应用$SL(2,R)$变换，从静态解生成旋转黑洞解。
• 验证所推导解与已知结果的一致性，包括Chan–Mann解以及$\Lambda_{CM} = -\Lambda$与标准宇宙学常数$\Lambda_s = \pm 1/l^2$的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 2+1维杂交弦理论的低能运动方程如何从$n$维作用量在弦框架和爱因斯坦框架下推导得出？
• RQ2 Horne–Horowitz与Horowitz–Welch黑洞解在2+1维弦引力中存在何种精确关系？
• RQ3 Chan–Mann带电标量场黑洞解是如何推导的？其定义参数为何？
• RQ4 $SL(2,R)$群在2+1维弦引力中如何用于从静态解生成旋转黑洞解？
• RQ5 在所推导的弦黑洞解背景下，宇宙学常数$\Lambda_{CM}$与$\Lambda_s = \pm 1/l^2$之间存在何种关系？

主要发现

• 本文在弦框架和爱因斯坦框架下，显式推导出$n$维杂交弦理论的完整动力学方程组，给出了度规、标量场、规范场及三形式场变分的显式表达式。
• 通过在Killing坐标$t$和$\phi$上对$SL(2,R)$变换应用，将静态的Horne–Horowitz黑洞解推广为旋转解，得到一个具有质量$M$、电荷$Q$、旋转参数$\omega$及宇宙学常数$\Lambda_s = \pm 1/l^2$的旋转带电黑洞。
• 在2+1维中显式推导出Chan–Mann解，其标量场为$\Psi(r) = -\frac{1}{2} \ln r$，当$B=8$，$k=-1/2$，$a=1$，$b=4$，且$\Lambda = \Lambda_s = -\Lambda_{CM}$时，该解满足弦理论方程。
• 该解通过共形变换可映射至弦框架：$\tilde{g}_{\mu\nu} = e^{4\Psi(r)} g_{\mu\nu} = r^{-2} g_{\mu\nu}$，从而成为2+1维弦理论方程的解。
• 当标量场为零（即$k=0$）时，解退化为德西特或反德西特时空，其中$C_1 = \pm M$，$C_N = 1$，但在此极限下不存在静态带电解。
• 在$\Lambda_{CM} = 1/l^2$（即反德西特）分支中，通过$t = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \omega^2/l^2}} - \omega \frac{\theta}{\sqrt{1 - \omega^2/l^2}}$，$\phi = -\frac{\omega}{l^2} \frac{\tau}{\sqrt{1 - \omega^2/l^2}} + \frac{\theta}{\sqrt{1 - \omega^2/l^2}}$显式构造了旋转解，得到一个含四个独立参数$M$、$Q$、$\omega$和$l$的度规。