[论文解读] Low-lying excitations in one-dimensional lattice electron systems

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2004

Quantum and electron transport phenomena被引用 3

一句话总结

该论文严格证明，在具有非整数 $P\nu$ 的一维晶格电子系统中，无限体积基态要么简并（由于对称性自发破缺），要么具有无能隙的低能激发态——从而排除了唯一能隙基态的存在。该证明采用一种基于电荷关联函数和幺正扭变算符的新方法，构造出能量接近基态的局域化试探态，非微扰地将 Lieb-Schultz-Mattis 定理推广至强关联电子系统。

ABSTRACT

We consider a general one-dimensional tight-binding electron model which has a period $P$. For any filling factor $ν$ such that $Pν$ is non-integral, we prove that the model in the infinite volume limit has either a symmetry breaking or a unique ground state with gapless excitations. The proof is based on the idea of Yamanaka, Oshikawa and Affleck (cond-mat/9701141), who extended the Lieb-Schultz-Mattis argument to electron systems.

研究动机与目标

• 将 Lieb-Schultz-Mattis 定理非微扰地推广至强关联的一维电子系统。
• 通过构造在无限体积极限下与基态保持正交的局域化激发态，弥补早期研究的空白。
• 证明当 $P\nu$ 非整数时，唯一能隙基态不可能存在——仅可能为对称性破缺或无能隙激发。
• 发展一种通用方法，适用于对称性不高的系统，利用电荷关联函数构造低能激发态。

提出的方法

• 引入幺正扭变算符 $U = \exp\{2\pi i \sum_{j=0}^{LP-1} ([j/P]+1)(\hat{n}_{j,\uparrow}/L)\}$，以生成试探激发态 $\Psi = U\Phi_0$。
• 定义密度算符 $\hat{\rho}_L = (LP)^{-1} \sum_{j=0}^{LP-1} \hat{n}_{j,\uparrow}$，并分析其涨落 $f(L) = \langle(\hat{\rho}_L - \nu)^2\rangle$。
• 利用 Schwarz 不等式，得到 $|\langle\Phi_0, \Psi\rangle|^2 \leq \langle \alpha + \beta(\hat{\rho}_L - \nu)^2 \rangle \leq \alpha + \beta f(L)$，表明当 $L$ 足够大时，有 $|\varepsilon|^2 \leq 1 - \delta$。
• 将 $\Psi$ 分解为 $\Psi = \sqrt{1 - |\varepsilon|^2} \Psi' + \varepsilon \Phi_0$，以提取一个与基态正交的激发态 $\Psi'$，其能量满足 $\langle \Psi', H \Psi' \rangle \leq E_{\rm GS} + \frac{\gamma}{\delta L}$。
• 利用能量界，证明存在具有有限支撑长度 $L$ 的低能激发态，从而得出结论：对称性破缺或无能隙激发必须发生。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以非微扰方式将 Lieb-Schultz-Mattis 定理推广至相互作用的一维电子系统？
• RQ2 对于填充非整数 $P\nu$ 的电子系统，是否可以构造出在无限体积极限下与基态保持正交的局域化激发态？
• RQ3 当 $P\nu$ 非整数时，一维电子系统的可能低能行为有哪些？
• RQ4 在一般相互作用和短程跃迁下，此类系统中是否存在唯一且能隙的基态？

主要发现

• 对于任意具有周期 $P$ 且 $P\nu$ 非整数的一维紧束缚电子系统，其无限体积基态要么简并（对称性破缺），要么具有无能隙激发。
• 无论相互作用强度或关联效应如何，当 $P\nu$ 非整数时，唯一能隙基态被严格排除。
• 该方法构造出一个仅在长度为 $L$ 的有限区域内与基态不同的试探激发态 $\Psi'$，其能量满足 $\langle \Psi', H \Psi' \rangle \leq E_{\rm GS} + \frac{\gamma}{\delta L}$。
• 界 $|\langle \Phi_0, \Psi \rangle|^2 \leq 1 - \delta$（其中 $\delta > 0$）确保了即使不完全正交，也存在非平凡的正交激发态。
• 该结果适用于一般短程跃迁和长程相互作用，只要系统具有周期 $P$ 且 $P\nu \notin \mathbb{Z}$。