[论文解读] Low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions: A transition in the Ratios Conjecture

Daniel Fiorilli, James Parks+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文应用L函数比例猜想，计算了奇平方因子且被8整除的二次狄利克雷L函数族中低阶零点的1-水平密度。它在支持端点σ = 1处识别出主项与低阶项的显著相变，该结果与Katz-Sarnak直觉及Rudnick的函数域结果一致，并在GRH假设下，推导出适用于傅里叶变换支持范围至σ < 2的测试函数的渐近公式。

ABSTRACT

We study the $1$-level density of low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions by applying the $L$-functions Ratios Conjecture. We observe a transition in the main term as was predicted by the Katz-Sarnak heuristic as well as in the lower order terms when the support of the Fourier transform of the corresponding test function reaches the point $1$. Our results are consistent with those obtained in previous work under GRH and are furthermore analogous to results of Rudnick in the function field case.

研究动机与目标

• 分析奇平方因子且被8整除的二次狄利克雷L函数族中低阶零点的1-水平密度。
• 研究当测试函数傅里叶变换的支持范围达到σ = 1时，密度公式的演化行为，该处预测存在相变。
• 将先前基于GRH的1-水平密度渐近公式扩展，对J(X)项及低阶项进行更精细的处理。
• 通过识别在σ = 1处主项与低阶项的相变，确认与Katz-Sarnak直觉及Rudnick函数域结果的一致性。

提出的方法

• 使用L函数比例猜想，预测二次狄利克雷L函数族F*(X)中低阶零点的1-水平密度。
• 应用比例猜想，推导出在GRH下对σ < 2成立的1-水平密度的1/log X的幂级数渐近展开。
• 通过梅林变换技术和围道积分计算J(X)项，表明其贡献一个含显式常数的1/L项，常数涉及γ、ζ′(2)/ζ(2)，以及权函数w的梅林变换的对数导数。
• 对涉及测试函数傅里叶变换的积分进行详细渐近分析，分离出主项与低阶项的贡献。
• 使用围道变形与留数定理，评估涉及φ(τ)/τ与e^{-2πiτ}的振荡积分，将其与Katz-Sarnak预测联系起来。
• 建立误差项大小为O_ε(X^{σ/6 - 1/3 + ε})与O_ε(X^{-1/2 + ε})，确保在测试函数支持范围内的统一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测试函数傅里叶变换的支持范围达到σ = 1时，二次狄利克雷L函数族中低阶零点的1-水平密度行为如何？
• RQ2 比例猜想是否在σ = 1处预测出主项与低阶项的相变，且与Katz-Sarnak直觉一致？
• RQ3 1-水平密度渐近展开中的J(X)项能否显式计算，并证明其贡献一个含特定算术常数的1/L项？
• RQ4 1-水平密度中的低阶项在多大程度上与Katz-Sarnak直觉及Rudnick的函数域结果相符？
• RQ5 在GRH假设下推导出的渐近公式与σ < 2时的先前结果相比如何，特别是在1/L与O(1/L²)项的结构方面？

主要发现

• 族F*(X)的1-水平密度由一个渐近公式给出，该公式涉及测试函数的傅里叶变换、权函数w的梅林变换的对数导数，以及与γ和ζ′(2)/ζ(2)相关的显式常数。
• 在σ = 1处，主项与低阶项均出现显著相变，此时测试函数傅里叶变换的支持范围达到临界点，证实了Katz-Sarnak预测。
• J(X)项贡献一个系数为−log(2^{7/3} e^{1+γ}) + 2ζ′(2)/ζ(2) − Mw′(1)/Mw(1)的1/L项，该系数通过围道积分与梅林变换分析显式导出。
• 1-水平密度公式在X → ∞极限下与Katz-Sarnak预测∫φ̂(0) − 1/2 ∫_{-1}^1 φ̂(u) du一致，σ = 1处的相变反映在低阶项的结构中。
• 误差项为O_ε(X^{σ/6 − 1/3 + ε})，优于先前的界，且在测试函数支持范围内保持统一。
• 推导结果确认与Rudnick的函数域结果及先前基于GRH的工作一致，尤其体现在1/L项的行为与权函数梅林变换的作用方面。