[论文解读] Low-Memory Algorithms for Online Edge Coloring

Prantar Ghosh, Manuel Stoeckl|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文提出了低内存的在线与W-流式边着色算法，通过子线性空间实现O(∆)-着色，相比之前的工作显著降低了内存使用。通过利用随机排列和动态颜色池管理，算法在边到达时以Õ(n√∆)空间实现O(∆)-竞争比，在顶点到达时实现半流式空间，且在内存与颜色数量之间实现平滑的权衡。

ABSTRACT

For edge coloring, the online and the W-streaming models seem somewhat orthogonal: the former needs edges to be assigned colors immediately after insertion, typically without any space restrictions, while the latter limits memory to sublinear in the input size but allows an edge's color to be announced any time after its insertion. We aim for the best of both worlds by designing small-space online algorithms for edge coloring. We study the problem under both (adversarial) edge arrivals and vertex arrivals. Our results significantly improve upon the memory used by prior online algorithms while achieving an $O(1)$-competitive ratio. In particular, for $n$-node graphs with maximum vertex-degree $Δ$ under edge arrivals, we obtain an online $O(Δ)$-coloring in $ ilde{O}(n\sqrtΔ)$ space. This is also the first W-streaming edge-coloring algorithm using $O(Δ)$ colors (in sublinear memory). All prior works either used linear memory or $ω(Δ)$ colors. We also achieve a smooth color-space tradeoff: for any $t=O(Δ)$, we get an $O(Δt (\log^2 Δ))$-coloring in $ ilde{O}(n\sqrt{Δ/t})$ space, improving upon the state of the art that used $ ilde{O}(nΔ/t)$ space for the same number of colors (the $ ilde{O}(.)$ notation hides polylog$(n)$ factors). The improvements stem from extensive use of random permutations that enable us to avoid previously used colors. Most of our algorithms can be derandomized and extended to multigraphs, where edge coloring is known to be considerably harder than for simple graphs.

研究动机与目标

• 设计使用子线性内存且保持O(∆)-竞争比的在线边着色算法。
• 通过在有限内存下实现即时颜色分配，弥合在线与W-流式模型之间的差距。
• 改进之前工作，这些工作在子线性空间中需要线性内存或使用ω(∆)种颜色。
• 将方法推广至多重图，并提供确定性变体。
• 为边到达与顶点到达两种场景建立平滑的内存-颜色权衡。

提出的方法

• 利用随机排列高效采样并避免使用过先前的颜色，而无需存储所有先前的分配。
• 在每个顶点处维护动态颜色池，通过排列逐步扩展以寻找可用颜色。
• 采用“尝试并丢弃”策略，结合预言机随机性，避免显式存储所有随机选择。
• 引入一种新颖的W-流式模型，允许延迟分配颜色但内存为子线性，从而实现空间高效的处理。
• 通过结构化随机性对算法进行去随机化，并证明其在多重图上的正确性。
• 通过仔细分析切换网络中的路径限制与k-重独立性，实现空间界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在使用子线性内存的在线边着色中实现O(∆)-着色？
• RQ2 我们能否设计一种W-流式边着色算法，使用O(∆)种颜色且内存为子线性？
• RQ3 在在线边着色中，内存使用与颜色数量之间的最优权衡是什么？
• RQ4 所提出的技术能否扩展至多重图并实现确定性？
• RQ5 我们能否将内存使用降低到线性以下，同时保持常数竞争比？

主要发现

• 在对抗性边到达下，以Õ(n√∆)空间实现O(∆)-着色，优于之前使用更多内存的在线算法。
• 首次提出在子线性内存中使用O(∆)种颜色的W-流式边着色算法，解决了关键开放问题。
• 建立了平滑的内存-颜色权衡：在Õ(n√∆/t)空间中实现O(∆t)-着色，优于现有技术在相同颜色数量下使用的Õ(n∆/t)空间。
• 在顶点到达模型中，将内存使用减少至O(n polylog n)，在一般图与二分图中达到半流式边界。
• 所有算法均可去随机化并推广至多重图，其中边着色更为复杂。
• 推测随机算法以高概率使用Õ(n)和Õ(n√∆)空间，尽管正式证明仍为开放问题。