[论文解读] Low-order continuous finite element spaces on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes

Maxence Reberol, Bruno Lévy|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在混合非协调六面体-四面体网格上构建 $C^0$-连续有限元空间的方法，通过使用四面体的二次映射来匹配非平面六面体面，并利用二次拉格朗日基函数施加连续性约束。该方法在精度上与纯六面体网格相当，显著优于线性四面体网格，为全六面体网格难以生成的复杂几何体提供了一种稳健的替代方案。

ABSTRACT

This article deals with solving partial differential equations with the finite element method on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes. By non-conforming, we mean that a quadrangular face of a hexahedron can be connected to two triangular faces of tetrahedra. We introduce a set of low-order continuous (C0) finite element spaces defined on these meshes. They are built from standard tri-linear and quadratic Lagrange finite elements with an extra set of constraints at non-conforming hexahedra-tetrahedra junctions to recover continuity. We consider both the continuity of the geometry and the continuity of the function basis as follows: the continuity of the geometry is achieved by using quadratic mappings for tetrahedra connected to tri-affine hexahedra and the continuity of interpolating functions is enforced in a similar manner by using quadratic Lagrange basis on tetrahedra with constraints at non-conforming junctions to match tri-linear hexahedra. The so-defined function spaces are validated numerically on simple Poisson and linear elasticity problems for which an analytical solution is known. We observe that using a hybrid mesh with the proposed function spaces results in an accuracy significantly better than when using linear tetrahedra and slightly worse than when solely using tri-linear hexahedra. As a consequence, the proposed function spaces may be a promising alternative for complex geometries that are out of reach of existing full hexahedral meshing methods.

研究动机与目标

• 解决在六面体与四面体以非平面面相接的混合非协调六面体-四面体网格上构建连续有限元空间的挑战。
• 克服三线性六面体与线性四面体之间非协调界面引发的几何与函数不连续性。
• 实现在原本难以用纯六面体单元生成的六面体主导网格上获得高精度有限元解。
• 为非协调六面体-四面体界面处的连续性强制提供一种形式化、数学基础坚实的框架，避免依赖金字塔形单元。

提出的方法

• 使用四面体的二次等参数映射，精确匹配相邻三线性六面体的非平面四边形面，确保几何连续性。
• 在四面体上采用二次拉格朗日有限元（$\mathbb{P}_2$），以匹配三线性六面体（$\mathbb{Q}_1$）在界面处的函数空间。
• 在非协调连接处施加约束，以强制全局有限元函数空间的 $C^0$ 连续性。
• 使用重心坐标和边中点定义四面体上的函数基，确保在顶点和边中点处的插值。
• 采用参考元方法：将所有单元映射到参考四面体（$\hat{T}$）和参考六面体（$\hat{Q}$），以统一基函数和约束。
• 通过在共享界面点（特别是界面处的顶点和边中点）匹配函数值和梯度，推导连续性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在几何与函数连续的前提下，于混合非协调六面体-四面体网格上构建连续的 $C^0$ 有限元空间？
• RQ2 当六面体的四边形面为非平面且连接两个四面体时，如何实现几何连续性？
• RQ3 为确保有限元函数在非协调六面体-四面体界面处保持连续，需要施加何种约束？
• RQ4 所得到的函数空间能否实现与纯六面体网格相当的精度，同时比纯四面体网格更具灵活性？
• RQ5 是否可以通过直接耦合六面体与四面体并施加适当的连续性约束，避免在混合网格中使用金字塔形单元？

主要发现

• 所提方法通过使用四面体的二次映射，精确匹配三线性六面体的非平面面，实现了几何连续性。
• 通过在四面体上使用带顶点和边中点约束的二次拉格朗日基函数，实现了函数连续性，使其与三线性六面体基函数相匹配。
• 在泊松方程和线弹性问题上的数值实验表明，精度显著优于线性四面体单元，仅略逊于纯三线性六面体网格。
• 该方法使得可在具有零散非协调连接的六面体主导网格上应用，相较于局部过渡层，更适用于复杂几何体。
• 该方法避免了使用金字塔形单元，并为混合非协调网格上的 $C^0$ 连续性提供了形式化、数学一致的框架。