[论文解读] Low Order Finite Element Methods for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard Equations

Aleksander Lovrić, Wulf G. Dettmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 73被引用 6

一句话总结

本文提出了两种用于Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程的低阶有限元格式，通过将表面张力效应与相传输解耦，实现了对两者的独立控制。第一种方法采用稳定化的SUPG/PSPG线性等阶有限元以提升计算效率，第二种方法采用混合Taylor-Hood有限元以提高精度；两种格式在有无表面张力的情况下均能准确再现基准解，验证了其数值稳定性与守恒性质。

ABSTRACT

A computationally efficient, low order finite element formulation is developed for modelling the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations, which have been established as a promising phase field modelling approach for simulation of immiscible multiphase flows. The present study suggests that traditional Navier-Stokes-Cahn-Hilliard models do not allow for surface tension effects to be neglected due to the presence of the surface tension parameter in the Cahn-Hilliard equation. This motivates the proposed formulation, which allows surface tension effects to be changed without affecting the behaviour of the phase transport. Two methods are proposed: The first uses stabilised SUPG/PSPG linear elements, while the second is based on mixed Taylor-Hood elements. The proposed models are applied to a number of benchmark and example problems, including both capillary regime in which surface tension effects are dominant, and inertial regime in which surface tension effects are negligibly small. All results obtained agree very well with reference solutions.

研究动机与目标

• 为解决传统Navier-Stokes-Cahn-Hilliard模型中无法在不引起数值不稳定的情况下关闭表面张力的问题。
• 开发计算高效的有限元格式，使表面张力效应可被设为零而不影响相传输行为。
• 确保使用低阶单元准确且稳定地模拟毛细主导与惯性主导流动。
• 通过既有表面张力又有无表面张力的基准案例对格式进行验证。
• 展示体积守恒性，并与参考解（包括ALE基模拟）保持一致。

提出的方法

• 采用稳定化的SUPG/PSPG格式应用于线性等阶有限元，以实现低阶单元下的稳定求解并提升计算效率。
• 采用混合Taylor-Hood单元作为更高阶的替代方案，用于对比精度并验证稳定化格式。
• 通过从相方程中移除表面张力系数，对Cahn-Hilliard方程进行修改，以实现表面张力效应的解耦，使其可被设为零而不会引发数值问题。
• 采用Abels等人提出的热力学一致模型作为基础格式，并进行修改以支持表面张力的关闭。
• 当 $ \gamma = 0 $ 时，将迁移率系数提高至 $ D = 10^{-3} $，以在无表面张力条件下维持数值稳定性。
• 在所有基准问题中，时间积分与空间离散化方法保持一致，涵盖毛细与惯性流动区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Cahn-Hilliard方程中有效关闭表面张力效应而不引入数值不稳定？
• RQ2 当表面张力设为零时，所提格式是否仍能保持准确的相传输与体积守恒？
• RQ3 在Navier-Stokes-Cahn-Hilliard模拟中，低阶稳定化有限元与混合Taylor-Hood有限元在精度与计算效率方面有何对比？
• RQ4 所提格式在毛细与惯性流动区域中，对参考解的再现程度如何？
• RQ5 当表面张力被移除时，修改后的格式是否仍能保持能量稳定与物理一致性？

主要发现

• 所提出的稳定化SUPG/PSPG格式结合线性等阶有限元，能够稳定高效地求解Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程，显著提升计算性能。
• 修改后的格式成功实现了表面张力设为零而无数值问题，证实了表面张力效应可与相动力学实现解耦。
• 在 $ \gamma = 0 $ 条件下的Rayleigh-Taylor不稳定性算例中，结果与Guermond和Quartapelle的参考解高度一致，界面位置几乎无法区分。
• 在所有测试案例中，包括无表面张力情况，两种流体相的体积守恒性均得到高度保持。
• 稳定化线性单元格式的结果与混合Taylor-Hood格式几乎无法区分，验证了其尽管阶次较低但依然具备高精度。
• 该格式在毛细主导与惯性主导流动区域中均能准确再现基准解，证实了其在各类流动区域中的鲁棒性。