[论文解读] Low Polynomial Exclusion of Planar Graph Patterns

Jean‐Florent Raymond, Dimitrios M. Thilikos|arXiv (Cornell University)|May 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文為排除特定平面圖模式作為子式之圖的樹寬建立了低次多項式上界，包括輪圖、雙輪圖、路寬為2的圖以及Yurt圖。證明顯示樹寬分別被限制在O(h)、O(h² log²h)、O(h²)與O(h⁴)之內，顯著優於以往的指數級上界，並推進了對minor-closed圖族中多項式格子排除的理解。

ABSTRACT

The celebrated grid exclusion theorem states that for every $h$-vertex planar graph $H$, there is a constant $c_{h}$ such that if a graph $G$ does not contain $H$ as a minor then $G$ has treewidth at most $c_{h}$. We are looking for patterns of $H$ where this bound can become a low degree polynomial. We provide such bounds for the following parameterized graphs: the wheel ($c_{h}=O(h)$), the double wheel ($c_{h}=O(h^2\cdot \log^{2} h)$), any graph of pathwidth at most 2 ($c_{h}=O(h^{2})$), and the yurt graph ($c_{h}=O(h^{4})$).

研究动机与目标

• 確定排除固定平面子式H之圖的樹寬是否可被|V(H)|的低次多項式所界定。
• 透過識別具有多項式樹寬上界的特定平面圖族，改進以往在格子排除定理中已知的指數或超多項式上界。
• 針對特定結構化的平面圖（如輪圖、雙輪圖與Yurt圖）建立緊緻或近乎緊緻的上界。
• 透過分析Ramanujan圖及其他極值構造，探討這些上界的最佳性。

提出的方法

• 結合結構圖論與子式包含性論證，作者分析排除特定平面圖模式作為子式的圖之樹寬。
• 利用高樹寬會強制產生某類子結構的事實，本文應用格子子式定理的一種變體，推導出子式包含的充分條件。
• Yurt圖的證明依賴於在高樹寬圖中構造類似梳子的結構，並使用子序列論證以提取所需的子式。
• 針對雙輪圖與路寬為2的圖，作者使用遞迴分解與子式封閉性質，以排除圖樣的大小來界定樹寬。
• 分析中包含針對梳子C構造圖族Λ(C)的詳細過程，此圖族用於模擬目標子式。
• 下界透過具有高週長與大樹寬的Ramanujan圖推導而出，顯示某些上界在漸近意義下為緊緻。

实验结果

研究问题

• RQ1 排除平面子式H之圖的樹寬是否可被|V(H)|的多項式所界定？若是，最佳可能的次數為何？
• RQ2 對於階數為h的輪圖H，其樹寬上界是否為多項式？能否改進為O(h)？
• RQ3 雙輪圖與Yurt圖族的最佳多項式上界為何？這些上界是否緊緻？
• RQ4 是否存在某類平面圖結構，使得格子排除定理能產生顯著優於一般情況的多項式樹寬上界？
• RQ5 能否利用極值圖構造（如Ramanujan圖）來建立排除特定子式族時最佳多項式次數的下界？

主要发现

• 任何排除階數為h之輪圖作為子式的圖，其樹寬上界為O(h)，此上界在常數因子意義下為緊緻。
• 對於階數為h之雙輪圖，樹寬上界為O(h² log²h)，顯著優於以往的指數級上界。
• 當路寬至多為2的圖被排除為子式時，其宿主圖的樹寬上界為O(h²)。
• Yurt圖階數為h時，僅當宿主圖的樹寬至多為O(h⁴)時才可被排除為子式，此為該家族首個多項式上界。
• 本文為排除某些子式族時的樹寬上界提供了Ω(h log h)的下界，暗示此類次數對某些圖類可能為最佳。
• 作者猜想雙輪圖的上界最佳為O(h)，且針對路寬為1與Yurt類圖族的Ω(h log h)下界亦為緊緻。