[论文解读] Low-rank Approximation and Dynamic Mode Decomposition.

Patrick Héas, Cédric Herzet|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

该论文为高维动力系统中的低秩动态模态分解（DMD）提出了一种闭式解法，以多项式时间求解非凸低秩优化问题。该方法实现了具有明确l2-范数误差表征的最优逼近，并通过SVD或特征值分解实现高效的降阶建模。

ABSTRACT

This work studies the linear approximation of high-dimensional dynamical systems using low-rank dynamic mode decomposition (DMD). Searching this approximation in a data-driven approach is formalised as attempting to solve a low-rank constrained optimisation problem. This problem is non-convex and state-of-the-art algorithms are all sub-optimal. This paper shows that there exists a closed-form solution, which is computed in polynomial time, and characterises the l2-norm of the optimal approximation error. The paper also proposes low-complexity algorithms building reduced models from this optimal solution, based on singular value decomposition or eigen value decomposition. The algorithms are evaluated by numerical simulations using synthetic and physical data benchmarks.

研究动机与目标

• 为在数据驱动方式下近似高维动力系统提出低秩DMD方法。
• 将逼近问题形式化为非凸低秩约束优化任务。
• 克服现有最先进算法在该问题上的次优性。
• 推导出一种闭式解法，实现最优低秩逼近的多项式时间计算。
• 表征最优逼近误差的l2-范数，并开发高效的降阶建模算法。

提出的方法

• 将低秩DMD逼近形式化为带秩约束的非凸优化问题。
• 推导出该优化问题的闭式解法，实现多项式时间内的精确计算。
• 利用推导出的解表征最优逼近误差的l2-范数。
• 基于最优解，利用奇异值分解（SVD）构建降阶模型。
• 为提高计算效率，提出基于特征值分解的替代降阶建模方法。
• 通过数值模拟，在合成数据和物理数据基准上验证所提算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非凸低秩DMD优化问题推导出闭式解？
• RQ2 低秩DMD中最优逼近误差的精确l2-范数是多少？
• RQ3 最优解能否在多项式时间内计算，从而实现在高维系统中的实际应用？
• RQ4 基于SVD和基于特征值分解的算法在从最优解构建降阶模型方面有何比较？
• RQ5 所提算法在合成数据和物理数据基准上的实际性能如何？

主要发现

• 低秩DMD优化问题存在闭式解，解决了非凸性挑战。
• 最优解可在多项式时间内计算，实现了在高维系统中的高效应用。
• 利用推导出的解，明确表征了最优逼近误差的l2-范数。
• 提出了基于SVD和基于特征值分解的算法，用于从最优解构建降阶模型。
• 在合成数据和物理数据上的数值模拟表明，所提算法具有高效性和准确性。
• 所提方法实现了最优逼近性能，优于现有次优算法。