[论文解读] Low-Rank Dynamic Mode Decomposition: Optimal Solution in Polynomial-Time

Patrick Héas, Cédric Herzet|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文通过推导非凸低秩约束优化问题的闭式解，提出了一种低秩动态模态分解（DMD）的多项式时间最优解法。它表征了最优的 l2-范数误差，并通过 SVD 或低秩 DMD 实现高效的降阶建模，已在合成数据和物理数据基准上得到验证。

ABSTRACT

This work studies the linear approximation of high-dimensional dynamical systems using low-rank dynamic mode decomposition (DMD). Searching this approximation in a data-driven approach can be formalised as attempting to solve a low-rank constrained optimisation problem. This problem is non-convex and state-of-the-art algorithms are all sub-optimal. This paper shows that there exists a closed-form solution, which can be computed in polynomial-time, and characterises the l2-norm of the optimal approximation error. The theoretical results serve to design low-complexity algorithms building reduced models from the optimal solution, based on singular value decomposition or low-rank DMD. The algorithms are evaluated by numerical simulations using synthetic and physical data benchmarks.

研究动机与目标

• 解决高维动力系统中基于数据驱动方法的最优低秩逼近问题。
• 解决当前缺乏全局最优解的低秩 DMD 优化的非凸性问题。
• 推导一种可多项式时间计算的闭式解，确保计算效率。
• 表征最优逼近误差的 l2-范数，以供理论与实际应用。
• 基于最优解开发低复杂度的降阶建模算法。

提出的方法

• 将低秩 DMD 问题形式化为非凸低秩约束优化任务。
• 利用矩阵分析与奇异值分解（SVD）技术推导闭式解。
• 证明最优解可在多项式时间内计算，克服现有算法的次优性。
• 利用数据矩阵的谱特性表征最优逼近误差的 l2-范数。
• 设计基于 SVD 或低秩 DMD 的高效算法，利用闭式解。
• 通过在合成数据和物理数据基准上的数值模拟验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内推导出低秩 DMD 问题的全局最优解？
• RQ2 最优低秩逼近中 l2-范数误差的精确表征是什么？
• RQ3 所提出的闭式解在性能与复杂度上相较于现有次优算法有何差异？
• RQ4 该最优解能否通过 SVD 或低秩 DMD 框架高效实现？
• RQ5 该方法在包括物理系统在内的多种数据类型上是否保持准确性与稳定性？

主要发现

• 低秩 DMD 优化问题存在闭式解，且可在多项式时间内计算。
• 最优解在给定低秩约束下实现了可能的最小 l2-范数误差。
• 理论误差界通过数据矩阵的奇异值显式表征。
• 基于最优解提出的算法在准确性和效率上优于现有次优方法。
• 数值模拟证实该方法在合成与物理数据基准上的鲁棒性与可扩展性。
• 该方法可实现可靠且低复杂度的降阶建模，适用于高维动力系统。