[论文解读] Low-rank quantics tensor train representations of Feynman diagrams for multiorbital electron-phonon models

Hirone Ishida, Natsuki Okada+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2024

Advanced NMR Techniques and ApplicationsChemistry被引用 3

一句话总结

本文提出一种结合低秩量化张量列车（QTT）表示与张量交叉插值（TCI）的方法，以高效计算多轨道电子-声子模型中的费曼图。该方法展示了积分误差随计算成本呈指数收敛，对不连续性和对称性破缺具有鲁棒性，实现了自能图的高分辨率、无符号问题数值积分。

ABSTRACT

Feynman diagrams are an essential tool for simulating strongly correlated electron systems. However, stochastic quantum Monte Carlo sampling suffers from the sign problem, particularly when solving a multiorbital quantum impurity model. Recently, two approaches have been proposed for efficient numerical treatment of Feynman diagrams: Tensor Cross Interpolation (TCI) to replace stochastic sampling and the Quantics Tensor Train (QTT) representation for compressing space-time dependence. One of the remaining challenges is the nontrivial task of identifying low-rank structures in weak-coupling Feynman diagrams for multiorbital electron-phonon systems. In particular, the traditional TCI algorithm faces an ergodicity problem, which prevents it from fully exploring the multiorbital space. To address this, we incorporate a new algorithm called global search, which resolves this issue. By combining this approach with QTT, we uncover low-rank structures and achieve efficient numerical integration with exponential resolution in time and faster-than-power-law convergence of error relative to computational cost. Additionally, our approach does not require the division of discontinuous regions necessary in non-quantics TCI.

研究动机与目标

• 探究多轨道电子-声子体系自能费曼图中是否存在低秩张量列车（TT）结构。
• 评估张量交叉插值（TCI）在处理同时具有连续与离散自由度的复杂被积函数时的鲁棒性。
• 评估TCI是否能有效处理声子贡献，后者通常会加剧量子蒙特卡罗（QMC）方法中的符号问题。
• 确定量化张量列车（QTT）表示是否能实现误差随计算成本呈指数收敛。

提出的方法

• 采用量化张量列车（QTT）格式对虚时变量进行离散化，以实现时间维度上的指数分辨率。
• 将离散自由度（如自旋轨道量子数与声子振动模式）嵌入与连续时间变量相同的张量列车中。
• 应用张量交叉插值（TCI）通过低秩TT近似学习并积分高维费曼图被积函数。
• 利用分层低秩结构压缩被积函数，实现在无需区域划分的情况下的高效数值积分。
• 以键维数χ为变量，评估插值误差与收敛速率，误差值经被积函数最大值归一化。
• 通过投影至红外基底验证结果，确认展开系数的预期衰减行为。

Figure 1 : (a) Second-order skeleton diagrams for the electron self-energy $\Sigma^{(2)}$ and phonon self-energy $\Pi^{(2)}$ , as well as tensor train (TT) representations of their integrands. (b) Bond dimensions $\chi_{\ell}$ for TCI tolerance $\epsilon=10^{-3}$ for typical parameters set above/bel

实验结果

研究问题

• RQ1 在多轨道电子-声子模型的自能费曼图被积函数中是否存在低秩张量列车（TT）结构？
• RQ2 TCI在插值具有连续与离散自由度（包括不连续情况）的被积函数时是否具有鲁棒性？
• RQ3 TCI是否能有效处理加剧QMC模拟中符号问题的声子贡献？
• RQ4 QTT表示是否能实现积分误差随计算成本呈指数收敛？

主要发现

• 二阶图中电子与声子自能的被积函数表现出低秩结构，TCI容差ε = 10⁻³时键维数χ ≈ 35–55，远低于不可压缩极限。
• 插值误差随键维数χ增加呈指数下降，收敛速率超过O(1/n_s^a)（a > 1/2），表明其性能优于标准QMC采样。
• 存在超导相变或外场（α）时，为达到ε = 10⁻²，所需χ值约增加两倍，原因在于自能中存在非零分量。
• 即使自能被积函数中存在不连续性，QTT表示仍保持紧凑性，并实现误差的指数衰减，无需区域划分。
• 重构的自能无离散化伪影，其τ依赖关系表现出平滑、高分辨率的行为，与指数分辨率一致。
• 该方法成功实现了Σ⁽²⁾与Π⁽²⁾图的积分，其振幅远小于Σ⁽¹⁾与Π⁽¹⁾，验证了二阶微扰中的一次性近似的有效性。

Figure 2 : (a) $T$ dependence of the absolute maximum of the gap function with no external field ( $\alpha=0$ ). (b) $\alpha$ dependence of the absolute maximum of the gap function at $T=0.016$ . (c) $\Sigma^{(1)}$ and $\Pi^{(1)}$ computed at $T=0.05,~{}0.016$ with $\alpha=0$ . (d) $\Sigma^{(2)}$ an