[论文解读] Low-Rank Tensor Completion via Tensor Ring with Balanced Unfolding

Huyan Huang, Yipeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种基于张量环（TR）分解与平衡展开的低秩张量补全方法，通过凸优化实现从 n^{d/2} r^2 ln^7(n^{d/2}) 个样本中对大小为 n、TR 秩为 r 的 d 阶张量进行精确恢复。该方法在类似于矩阵不相干性的 TR 不相干性条件下，以高概率实现恢复，且在合成数据与真实世界数据上均优于当前最先进方法。

ABSTRACT

Tensor completion recovers a multi-dimensional array from a limited number of measurements. Using the recently proposed tensor ring (TR) decomposition, in this paper we show that a d-order tensor of dimensional size n and TR rank r can be exactly recovered with high probability by solving a convex optimization program, given n^{d/2} r^2 ln^7(n^{d/2})samples. The proposed TR incoherence condition under which the result holds is similar to the matrix incoherence condition. The experiments on synthetic data verify the recovery guarantee for TR completion. Moreover, the experiments on real-world data show that our method improves the recovery performance compared with the state-of-the-art methods.

研究动机与目标

• 解决利用低秩结构从有限测量中恢复多维张量的挑战。
• 为张量环（TR）分解在张量补全中的理论恢复保证提供依据。
• 构建一个凸优化框架，确保在 TR 不相干性条件下实现精确张量恢复。
• 在真实世界与合成数据集上，提升恢复性能，超越当前最先进方法。

提出的方法

• 该方法采用张量环（TR）分解，将 d 阶张量表示为 TR 秩 r 的形式，实现对高维数组的低秩建模。
• 引入平衡展开以在优化过程中保持张量结构，提升数值稳定性与恢复精度。
• 构建凸优化程序，最小化 TR 格式上的类似核范数正则化项，以促进低秩解。
• 理论分析表明，当样本数量为 n^{d/2} r^2 ln^7(n^{d/2}) 时，可高概率实现精确恢复。
• 定义了 TR 不相干性条件，并证明其与广为人知的矩阵不相干性条件类似，确保有利的采样复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 TR 分解是否能在凸优化框架下，以高概率实现精确张量补全？
• RQ2 使用所提出的基于 TR 的方法实现精确恢复，所需样本数是多少？
• RQ3 所提出的 TR 不相干性条件在理论保证方面与经典矩阵不相干性相比如何？
• RQ4 该方法在真实世界张量补全任务中是否优于现有最先进方法？

主要发现

• 所提方法在 n^{d/2} r^2 ln^7(n^{d/2}) 个样本下，以高概率实现精确张量恢复，建立了理论采样边界。
• 恢复成立的 TR 不相干性条件在结构上与矩阵不相干性条件相似，支持理论直觉。
• 在合成数据上的实验验证了理论恢复保证，确认在给定条件下可实现精确恢复。
• 在真实世界数据集上，该方法表现出优于当前最先进张量补全技术的恢复性能。