[论文解读] Low Regularity Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Methods for Convection-Diffusion Equations

Chunmei Wang, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种原始-对偶弱伽辽金（PDWG）有限元方法，用于在低正则性假设下求解对流-扩散方程，采用一种混合变分格式，通过离散弱梯度耦合原始方程与伴随方程。该方法在 $H^\epsilon$-范数下实现了 $\epsilon \in [0, \frac{1}{2})$ 的最优收敛率，并在解具有间断性或处于对流主导区域时表现出稳定性和准确性。

ABSTRACT

We propose a numerical method for convection-diffusion problems under low regularity assumptions. We derive the method and analyze it using the primal-dual weak Galerkin (PDWG) finite element framework. The Euler-Lagrange formulation resulting from the PDWG scheme yields a system of equations involving not only the equation for the primal variable but also its adjoint for the dual variable. We show that the proposed PDWG method is stable and convergent. We also derive a priori error estimates for the primal variable in the $H^ε$-norm for $ε\in [0,\frac12)$. A series of numerical tests that validate the theory and are presented as well.

研究动机与目标

• 解决标准伽辽金方法在对流主导情形下对流-扩散方程数值不稳定和振荡的问题。
• 开发一种鲁棒的有限元方法，即使精确解正则性较低（如存在间断或Sobolev光滑性有限），也能保持稳定与准确。
• 在 $H^\epsilon$-范数下为原始变量提供先验误差估计，其中 $\epsilon \in [0, \frac{1}{2})$，从而扩展至低光滑性解的适用范围。
• 实现一般多面体网格（包括非单形元）的应用，以增强复杂区域中的几何灵活性。
• 证明在某些情况下可省略稳定化参数而不影响收敛性，表明方法在实现上具有更高的鲁棒性与简洁性。

提出的方法

• 基于包含原始变量与对偶变量的混合变分形式，推导对流-扩散问题的欧拉-拉格朗日方程。
• 采用原始-对偶弱伽辽金（PDWG）框架，通过引入离散弱梯度处理多面体网格上的低正则性解。
• 使用 $C^0$-连续有限元空间：对原始变量采用 $P_k(T)$，对其边界迹采用 $P_{k-1}(\partial T)$，对对偶变量采用 $P_s(T)$，其中 $s = k-1$ 或 $s = k-2$。
• 通过耦合原始与对偶方程引入稳定项，构建对称且适定的离散系统，以增强稳定性与可解性。
• 将方法应用于一般多面体剖分，支持网格设计的灵活性，包括非单形元。
• 利用泛函分析与逼近理论推导误差估计，重点研究在精确解正则性要求最低的条件下 $H^\epsilon$-范数下 $\epsilon \in [0, \frac{1}{2})$ 的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当精确解具有低正则性（如 $H^\epsilon$-正则性且 $\epsilon < \frac{1}{2}$）时，有限元方法是否仍能保持对流-扩散问题的稳定性和收敛性？
• RQ2 PDWG框架是否可在此类低正则性条件下实现 $H^\epsilon$-范数下的最优误差估计？
• RQ3 当 $s = k-1$ 时，该方法是否可在不使用稳定化参数 $\gamma$ 的情况下仍保持收敛性？
• RQ4 在具有奇点或层状结构的复杂区域（如裂纹或L形区域）上，该方法的数值表现如何？
• RQ5 PDWG方法在处理具有间断或弱正则性解的对流主导问题时，能在多大程度上保持最优收敛速率？

主要发现

• 所提出的PDWG方法在低正则性假设下对对流-扩散问题具有稳定性和收敛性，包括解属于 $H^\epsilon$ 且 $\epsilon \in [0, \frac{1}{2})$ 的情形。
• 为原始变量在 $H^\epsilon$-范数下导出了先验误差估计，证明在正则性要求最低的条件下仍能达到最优收敛阶。
• 数值实验表明，该方法在对流主导区域中表现一致，甚至优于理论预测。
• 当稳定化参数 $\gamma = 0$ 时，方法仍保持收敛与准确，表明在某些条件下稳定化可能并非必需。
• 该方法在裂纹域与L形域等复杂区域上能成功捕捉边界层与解的间断性，且轮廓图与曲面图均显示高精度。
• 采用多面体网格与 $C^0$-连续有限元增强了几何灵活性，同时不损失收敛性与稳定性。