[论文解读] Low-Signal-Energy Asymptotics of Capacity and Mutual Information for the Discrete-Time Poisson Channel

Alfonso García Martínez|ArXiv.org|Aug 20, 2008

Wireless Communication Security Techniques参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文推导了带有加性泊松噪声或几何噪声的离散时间泊松信道在低信号能量下的互信息和容量渐近行为。结果表明，在低能量下，互信息按 $-\varepsilon_s \log \varepsilon_s$ 的速率增长，且在泊松噪声下每比特最小能量为零，在几何噪声下为 $\varepsilon_n \log 2$，而固定星座图无法达到该极限。

ABSTRACT

The first terms of the low-signal-energy asymptotics for the mutual information in the discrete-time Poisson channel are derived and compared to an asymptotic expression of the capacity. In the presence of non-zero additive noise (either Poisson or geometric), the mutual information is concave at zero signal-energy and the minimum energy per bit is not attained at zero capacity. Fixed signal constellations which scale with the signal energy do not attain the minimum energy per bit. The minimum energy per bit is zero when additive Poisson noise is present and $\ew\log 2$ when additive geometric noise of mean $\ew$ is present.

研究动机与目标

• 量化在低信号能量区域下，固定信号星座图的信道容量与互信息之间的差距。
• 确定当信号能量 $\varepsilon_s \to 0$ 时，互信息与容量的渐近行为。
• 分析在添加噪声的泊松信道中，固定星座图是否能够达到每比特最小能量。
• 计算泊松噪声与几何噪声模型下的每比特最小能量。

提出的方法

• 通过泊松与几何噪声分布的对数函数和矩生成函数的泰勒展开，推导互信息的渐近展开式。
• 采用微扰方法，将互信息表达式中的散度项在 $\varepsilon_s = 0$ 附近展开，保留至 $\mathcal{O}(\varepsilon_s^2)$ 阶项。
• 应用测度变换技术，将互信息表示为输出概率与输入分布之和的形式。
• 计算散度 $D(Q(y|x) \| Q(y|x=0))$ 的二阶展开，以捕捉低 $\varepsilon_s$ 下互信息的曲率，揭示在零能量时的凹性。
• 分析闪光信号与二元调制（$p = \varepsilon_s$ 或 $p = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s$）下互信息的行为，以界定容量范围。
• 推导无噪声情况下容量的渐近形式为 $\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低信号能量区域下，固定星座图的互信息如何随信号能量 $\varepsilon_s$ 变化？
• RQ2 对于离散时间泊松信道，当 $\varepsilon_s \to 0$ 时，信道容量的渐近行为如何？
• RQ3 在添加泊松或几何噪声时，泊松信道的每比特最小能量是否趋于零或保持有界？
• RQ4 在低信号能量区域下，固定信号星座图能否达到每比特最小能量？
• RQ5 当存在附加噪声时，零信号能量下的互信息是否为凹函数？

主要发现

• 无噪声离散时间泊松信道的容量在 $\varepsilon_s \to 0$ 时渐近行为为 $\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$。
• 当存在附加噪声时，固定星座图的互信息在零信号能量处为凹函数，意味着每比特最小能量非零。
• 当存在附加泊松噪声时，每比特最小能量为零，这是由于信道转移概率的发散结构所致。
• 当存在均值为 $\varepsilon_n$ 的附加几何噪声时，每比特最小能量为 $\varepsilon_n \log 2$，该结果由互信息的二阶展开推导得出。
• 随 $\varepsilon_s$ 变化的固定信号星座图无法达到每比特最小能量，因为其互信息的增长速度低于最优渐近速率。
• 由于存在零能量符号，离散时间泊松信道的单位成本容量为无穷大，即 $\text{C}_1 = \sup_{\varepsilon_s} \text{C}(\varepsilon_s)/\varepsilon_s = \infty$。