[论文解读] Lower bound for deterministic semantic-incremental branching programs solving GEN

Dustin Wehr|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文建立了确定性语义增量型分支程序求解GEN问题的指数下界，证明此类程序对于无穷多个 $m$ 至少需要 $2^{c\,m/\log m}$ 个状态，其中 $c > 0$ 为常数。该结果通过将语义增量型BPs约化为节俭型分支程序，并利用具有高黑点标记代价的难点标记DAG实现。

ABSTRACT

We answer a problem posed in (Gál, Koucký, McKenzie 2008) regarding a restricted model of small-space computation, tailored for solving the GEN problem. They define two variants of "incremental branching programs", the syntactic variant defined by a restriction on the graph-theoretic paths in the program, and the more-general semantic variant in which the same restriction is enforced only on the consistent paths - those that are followed by at least one input. They show that exponential size is required for the syntactic variant, but leave open the problem of superpolynomial lower bounds for the semantic variant. Here we give an exponential lower bound for the semantic variant by generalizing lower bound arguments, from earlier work, for a similar restricted model tailored for solving a special case of GEN called Tree Evaluation.

研究动机与目标

• 解决[GKM08]中提出的关于确定性语义增量型分支程序求解GEN问题的超多项式下界这一开放问题。
• 通过证明更一般的语义变体的指数下界，弥合语法与语义变体增量型分支程序之间的差距。
• 将已知的针对解决树评估问题的节俭型BPs的下界技术扩展到更广泛的GEN问题。
• 表明尽管语义增量型模型具有高度一般性，但仍施加了强烈的计算限制。

提出的方法

• 通过一种保持正确性和大小的构造，将确定性语义增量型分支程序约化为节俭型分支程序。
• 使用一族根DAG $\{G_t\}$，其节点数为 $\Theta(t)$，黑点标记代价为 $\Omega(t/\log t)$，源自[PTC76]。
• 将定理3应用于这些DAG，取 $k=2$，将点标记代价转化为分支程序大小的下界。
• 构造GEN问题的实例，其大小为 $m_t = 7n_t + 1 \leq 8n_t$，其中 $n_t$ 为 $G_t$ 中的节点数，以关联点标记代价与 $m_t$。
• 建立点标记代价 $p(n_t) = \Omega(n_t / \log n_t)$ 意味着对 $m_t$ 有下界 $2^{p(n_t)} \geq 2^{c\,m_t / \log m_t}$。
• 证明从语义增量型BPs到节俭型BPs的变换保持正确性且不增加大小，从而确保下界适用于原始模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为求解GEN问题的确定性语义增量型分支程序证明超多项式下界？
• RQ2 考虑到语法变体需要指数规模，语义增量型模型是否显著强于语法变体？
• RQ3 能否将节俭型BPs的下界扩展到更一般的语义增量型模型？
• RQ4 DAG的何种结构性质导致高点标记代价，以及如何利用这些性质推导出分支程序复杂度中的强下界？

主要发现

• 存在常数 $c > 0$，使得对无穷多个 $m$，每个求解 $[\text{-GEN}m]$ 的确定性语义增量型分支程序至少具有 $2^{c\,m/\log m}$ 个状态。
• 该下界通过将语义增量型BPs约化为节俭型BPs，并应用一族具有 $\Omega(n/\log n)$ 黑点标记代价的难点标记DAG获得。
• 该构造使用一族根DAG $\{G_t\}$，其节点数为 $\Theta(t)$，黑点标记代价为 $\Omega(t/\log t)$，确保下界随 $m$ 增长。
• 该结果确认，即使更一般的语义增量型模型也无法避免求解GEN问题时的指数规模，从而填补了[GKM08]留下的空白。
• 从语义增量型BPs到节俭型BPs的约化保持正确性与大小，验证了下界的有效传递。