[论文解读] Lower Bounding Ground-State Energies of Local Hamiltonians Through the Renormalization Group

Ilya Kull, Norbert Schuch+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2022

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的凸松弛方法，通过利用重整化群（RG）框架，对局部量子哈密顿量的基态能量进行下界估计。通过在逐步扩大的子系统上施加一致性约束，利用RG粗化映射，该方法在保持严格下界的同时显著降低了计算复杂度。关键贡献在于提出了一种可扩展且具备对称性感知能力的方法，其得到的下界与对约100个自旋的局部平移不变态进行优化所得结果相当，适用于一维和二维自旋系统。

ABSTRACT

Given a renormalization scheme, we show how to formulate a tractable convex relaxation of the set of feasible local density matrices of a many-body quantum system. The relaxation is obtained by introducing a hierarchy of constraints between the reduced states of ever-growing sets of lattice sites. The coarse-graining maps of the underlying renormalization procedure serve to eliminate a vast number of those constraints, such that the remaining ones can be enforced with reasonable computational means. This can be used to obtain rigorous lower bounds on the ground state energy of arbitrary local Hamiltonians, by performing a linear optimization over the resulting convex relaxation of reduced quantum states. The quality of the bounds crucially depends on the particular renormalization scheme, which must be tailored to the target Hamiltonian. We apply our method to 1D translation-invariant spin models, obtaining energy bounds comparable to those attained by optimizing over locally translation-invariant states of $n\gtrsim 100$ spins. Beyond this demonstration, the general method can be applied to a wide range of other problems, such as spin systems in higher spatial dimensions, electronic structure problems, and various other many-body optimization problems, such as entanglement and nonlocality detection.

研究动机与目标

• 开发一种可计算的方法，以严格下界估计局部哈密顿量的基态能量。
• 通过利用重整化群粗化来消除冗余约束，降低能量下界估计的计算成本。
• 通过在约化密度矩阵上构建约束层次结构，实现对一维和二维量子自旋系统的可扩展能量下界估计。
• 将对称性（如平移不变性、全局群对称性）整合到松弛框架中，以减少自由参数数量并提高效率。
• 在具有平移不变性的1D自旋链上展示该方法的有效性，并将其推广至高维系统及其他多体问题。

提出的方法

• 通过在不断扩大的子系统之间引入一致性约束层次，对可行的局部约化密度矩阵（RDMs）集合进行凸松弛。
• 利用RG粗化映射消除冗余约束，将可强制执行的约束数量大幅减少至可管理的水平。
• 在所得凸集上执行线性优化，以获得局部哈密顿量基态能量的严格下界。
• 从对称矩阵乘积态（MPS）或张量网络构建粗化映射，以保持平移不变性和全局群作用等对称性。
• 在1D系统中使用局部平移不变（LTI）层次结构，并通过保持对称性的映射，将方法扩展至2D系统，采用三角形或方形补丁粗化。
• 使用外推技术与SDP建模软件，估算实现所需精度所必需的系统尺寸，从而实现实际应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以利用重整化群框架，系统性地松弛可行约化密度矩阵的集合，以保持物理一致性并实现能量下界估计？
• RQ2 如何设计RG粗化映射，以在保持能量下界精度的同时消除冗余约束？
• RQ3 保持对称性的粗化映射在多大程度上能减少松弛中的自由参数数量，从而提升可扩展性？
• RQ4 与现有变分法或松弛技术相比，该方法在能量下界估计中的可实现精度如何？
• RQ5 该方法是否可推广至高维自旋系统及其他多体问题（如电子结构或非局域性检测）？

主要发现

• 该方法对一维平移不变自旋模型的基态能量下界估计，与对约100个自旋的局部平移不变态进行优化所得结果相当。
• 对于二维海森堡模型，该方法产生的下界接近文献中最佳已知结果，且在三角形补丁边长 l ≳ 11 时，预计可实现数量级的改进。
• 使用对称粗化映射（如来自对称MPS的映射）可显著减少自由参数数量，从而在保持物理对称性的同时实现高效松弛。
• 通过使用RG映射消除冗余约束，计算成本显著降低，使得即使对较大子系统，SDP松弛也变得可行。
• 该方法具有通用性，可应用于多种问题，包括高维自旋系统、电子结构以及纠缠性/非局域性检测。
• 数值结果表明，该方法性能随系统尺寸增大而表现良好，外推分析表明，利用中等计算资源即可实现高精度下界。