[论文解读] Lower Bounds Against Sparse Symmetric Functions of ACC Circuits: Expanding the Reach of #SAT Algorithms

Nikhil Vyas, Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文建立了一种高效 #SAT 算法用于 ACC 电路与强电路下界之间的新联系，表明对 ACC 电路存在非平凡的 #SAT 算法，意味着 Quasi-NP 不具有形式为 f ◦ ACC₀ 的多项式大小电路，其中 f 是一个稀疏对称函数。关键贡献是一个通用框架，可将 #SAT 算法的能力放大，从而对比原始分析类更丰富的电路类得出下界。

ABSTRACT

We continue the program of proving circuit lower bounds via circuit satisfiability algorithms. So far, this program has yielded several concrete results, proving that functions in Quasi-NP = NTIME[n^{(log n)^O(1)}] and NEXP do not have small circuits (in the worst case and/or on average) from various circuit classes C, by showing that C admits non-trivial satisfiability and/or #SAT algorithms which beat exhaustive search by a minor amount. In this paper, we present a new strong lower bound consequence of non-trivial #SAT algorithm for a circuit class {C}. Say a symmetric Boolean function f(x₁,…,x_n) is sparse if it outputs 1 on O(1) values of ∑_i x_i. We show that for every sparse f, and for all "typical" C, faster #SAT algorithms for C circuits actually imply lower bounds against the circuit class f ∘ C, which may be stronger than C itself. In particular: - #SAT algorithms for n^k-size C-circuits running in 2ⁿ/n^k time (for all k) imply NEXP does not have f ∘ C-circuits of polynomial size. - #SAT algorithms for 2^{n^ε}-size C-circuits running in 2^{n-n^ε} time (for some ε > 0) imply Quasi-NP does not have f ∘ C-circuits of polynomial size. Applying #SAT algorithms from the literature, one immediate corollary of our results is that Quasi-NP does not have EMAJ ∘ ACC⁰ ∘ THR circuits of polynomial size, where EMAJ is the "exact majority" function, improving previous lower bounds against ACC⁰ [Williams JACM'14] and ACC⁰ ∘ THR [Williams STOC'14], [Murray-Williams STOC'18]. This is the first nontrivial lower bound against such a circuit class.

研究动机与目标

• 将算法化方法在电路下界中的应用拓展至标准电路类之外。
• 探究 #SAT 算法对类 C 是否可推出对更强大类 f ◦ C 的下界。
• 建立一个将 #SAT 算法进展提升为更强电路下界的通用框架。
• 证明对 EMAJ ◦ ACC₀ ◦ THR 类的首个非平凡电路下界。

提出的方法

• 利用 ACC 电路的 #SAT 算法来计算 C-电路的统一对称函数。
• 将验证图中大独立集的问题归约为对 C-电路的求和计算。
• 使用非确定性算法通过将 C-电路分解为 t 个子电路，来模拟对称函数 f 的 C-电路。
• 采用 #SAT 算法来计算所有输入下满足赋值的总数。
• 应用计数论证，根据独立集的大小区分 YES 与 NO 情况。
• 依赖于假设：对于大小为多项式级别的 C-电路，#SAT 可在时间 2ⁿ / b(n) 内求解，其中 b(n) = nω(1)，若下界不成立则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对电路类 C 的 #SAT 算法是否可推出对严格更强大类 f ◦ C 的下界？
• RQ2 对稀疏对称 f，要获得 f ◦ C 的非平凡下界，所需的最小算法进展是什么？
• RQ3 该算法至下界范式能否扩展至 ACC₀ 之外的类？
• RQ4 是否可能证明对 EMAJ ◦ ACC₀ ◦ THR 电路的首个非平凡下界？
• RQ5 稀疏对称函数的结构如何与电路复杂性和 #SAT 算法相互作用？

主要发现

• 若对 nk 大小的 ACC 电路的 #SAT 算法在 2ⁿ / nk 时间内运行（对所有 k），则 NEXP ∉ f ◦ ACC₀ 对任意稀疏对称 f 成立。
• 若对 2ⁿε 大小的 ACC 电路的 #SAT 算法在 2ⁿ⁻ⁿε 时间内运行（对某个 ε > 0），则 Quasi-NP ∉ f ◦ ACC₀ 对任意稀疏对称 f 成立。
• 应用已知的 #SAT 算法，首次获得了非平凡下界：Quasi-NP 不具有多项式大小的 EMAJ ◦ ACC₀ ◦ THR 电路。
• 该框架表明，#SAT 算法可推出对严格比原始分析类更强大类的下界。
• 证明依赖于从电路结构导出的图中独立集的计数论证，可通过 #SAT 查询验证。
• 整体算法的运行时间为 2ⁿ / b(n)，其中 b(n) = nω(1)，若下界不成立则导致矛盾。