[论文解读] Lower Bounds for a Polynomial on a basic closed semialgebraic set using geometric programming

Mehdi Ghasemi, Murray Marshall|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于几何规划的算法，用于计算在由多项式不等式定义的基本闭半代数集上多项式的下界。该方法推广了以往针对无约束情形和超椭球域的方法，即使在半定规划失效的高次、稀疏多项式情况下，也能实现快速计算。

ABSTRACT

$f,g_1,...,g_m$ be elements of the polynomial ring $\mathbb{R}[x_1,...,x_n]$. The paper deals with the general problem of computing a lower bound for $f$ on the subset of $\mathbb{R}^n$ defined by the inequalities $g_i\ge 0$, $i=1,...,m$. The paper shows that there is an algorithm for computing such a lower bound, based on geometric programming, which applies in a large number of cases. The algorithm extends and generalizes earlier algorithms of Ghasemi and Marshall, dealing with the case $m=0$, and of Ghasemi, Lasserre and Marshall, dealing with the case $m=1$ and $g_1= M-(x_1^d+\cdots+x_n^d)$. Here, $d$ is required to be an even integer $d \ge \max\{2,°(f)\}$. The algorithm is implemented in a SAGE program developed by the first author. The bound obtained is typically not as good as the bound obtained using semidefinite programming, but it has the advantage that it is computable rapidly, even in cases where the bound obtained by semidefinite programming is not computable.

研究动机与目标

• 解决在由多项式不等式定义的基本闭半代数集上计算计算高效的多项式下界这一挑战。
• 将先前仅限于无约束多项式或单个超椭球约束的几何规划方法扩展至一般半代数集。
• 开发一种计算速度优于半定规划的算法，尤其适用于高次和稀疏多项式。
• 提供一种最优下界松弛，使其在大量情况下仍可通过几何规划计算。

提出的方法

• 将问题表述为在 $ K_{\boldsymbol{g}} = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : g_j(\mathbf{x}) \geq 0, \, j=1,\dots,m \} $ 上最小化多项式 $ f $，其中 $ \boldsymbol{g} = (g_1, \dots, g_m) $。
• 引入参数化扰动 $ G(\lambda) = f - \sum_{j=1}^m \lambda_j g_j $，其中 $ \lambda_j \geq 0 $，以确保在 $ K_{\boldsymbol{g}} $ 上有 $ G(\lambda) \leq f $。
• 应用几何规划计算 $ G(\lambda)_{\text{gp}} $，即 $ G(\lambda) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上的下界，从而为 $ f $ 在 $ K_{\boldsymbol{g}} $ 上提供下界。
• 将候选下界定义为 $ s(f, \boldsymbol{g}) = \sup_{\lambda \in [0,\infty)^m} G(\lambda)_{\text{gp}} $，在有利情况下可通过几何规划计算。
• 使用正单项式和单项式函数建模优化子问题，利用对偶性及算术-几何平均不等式。
• 提供松弛条件及充分条件（例如定理 4.2），使得在这些条件下，上确界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 可通过几何规划计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将几何规划扩展至计算一般基本闭半代数集上多项式的下界，而不仅限于无约束情形和单个超椭球情形？
• RQ2 在何种条件下，对偶变量 $ \lambda $ 的几何规划下界上确界可被几何规划计算？
• RQ3 与基于半定规划的方法相比，该方法在高次或稀疏多项式上的计算速度和精度如何？
• RQ4 该方法能否系统性地应用于结构化集合，如超椭球或超立方体的乘积？
• RQ5 几何规划下界与文献 [3] 在超立方体上的平凡下界之间存在何种关系？

主要发现

• 所提方法通过几何规划计算出 $ f $ 在 $ K_{\boldsymbol{g}} $ 上的下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $，推广了以往针对 $ m=0 $ 和 $ m=1 $ 且 $ g_1 = M - \sum x_i^d $ 的结果。
• 在大量情况下，下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 可通过几何规划计算，尤其当多项式结构满足特定齐次性或对称性条件时。
• 对于超立方体 $ \prod_{j=1}^n [-N_j, N_j] $，该方法恢复并改进了文献 [3] 中的平凡下界，当所有高阶系数均为非正时取等。
• 该算法显著快于半定规划，尤其在高次和稀疏多项式情况下，且在 SDP 失效时仍保持可计算性。
• 理论结果（如定理 4.2）识别出充分条件，使得最优下界 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 可通过几何规划计算，包括涉及超椭球乘积的情形。
• SAGE 实现代码已公开发布于 github.com/mghasemi/CvxAlgGeo，支持方法的实际应用与基准测试。