[论文解读] Lower Bounds for Choiceless Polynomial Time via Symmetric XOR-Circuits

Benedikt Pago|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文建立了选择性多项式时间（CPT）与对称XOR电路之间的联系，表明CPT仅在存在具有特定对称性和扇入约束的对称、多项式规模XOR电路时，才能在某些基图上定义CFI查询。本文在n维超立方体上证明了此类电路的近乎紧致下界，为CFI查询不可在CPT中定义提供了强有力证据，从而推进了CPT与多项式时间之间的分离。

ABSTRACT

Choiceless Polynomial Time (CPT) is one of the few remaining candidate logics for capturing Ptime. In this paper, we make progress towards separating CPT from polynomial time by firstly establishing a connection between the expressive power of CPT and the existence of certain symmetric circuit families, and secondly, proving lower bounds against these circuits. We focus on the isomorphism problem of unordered Cai-Fürer-Immerman-graphs (the CFI-query) as a potential candidate for separating CPT from Ptime. Results by Dawar, Richerby and Rossman, and subsequently by Pakusa, Schalthöfer and Selman show that the CFI-query is CPT-definable on linearly ordered and preordered base graphs with small colour classes. We define a class of CPT-algorithms, that we call "CFI-symmetric algorithms", which generalises all the known ones, and show that such algorithms can only define the CFI-query on a given class of base graphs if there exists a family of symmetric XOR-circuits with certain properties. These properties include that the circuits have the same symmetries as the base graphs, are of polynomial size, and satisfy certain fan-in restrictions. Then we prove that such circuits with slightly strengthened requirements (i.e. stronger symmetry and fan-in and fan-out restrictions) do not exist for the n-dimensional hypercubes as base graphs. This almost separates the CFI-symmetric algorithms from Ptime - up to the gap that remains between the circuits whose existence we can currently disprove and the circuits whose existence is necessary for the definability of the CFI-query by a CFI-symmetric algorithm.

研究动机与目标

• 解决有限模型论中的核心开放问题：是否存在一种逻辑能够捕捉多项式时间。
• 研究选择性多项式时间（CPT）的表达能力，CPT是捕捉PTIME的最有力候选者。
• 通过证明所需对称XOR电路的不存在性，表明CPT无法在基于n维超立方体的无序CFI图上定义CFI查询。
• 基于交替支撑划分和对称电路中的偶路径，开发一种新的下界技术。

提出的方法

• 引入了'CFI-对称算法'这一类别——它是已知CPT算法在CFI查询上的推广——其可定义性取决于是否存在具有特定性质的对称XOR电路。
• 建立了CFI-对称CPT算法与继承基图自同构群的多项式规模、对称XOR电路族之间的对应关系。
• 对电路施加对称性、大小以及扇入/扇出约束，以建模CPT的不变性与有界性要求。
• 开发了一种新颖的'偶路径'技术以分析电路敏感性，表明在自同构作用下，路径必须相互抵消，从而限制了对输入位的敏感性。
• 通过交替支撑划分的群论分析，表明在超立方体对称性下，此类划分无法包含过多单元素部分。
• 应用扇入维数的对数界以及轨道层面的父节点/子节点计数，对电路结构施加约束，从而得出电路复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 CFI查询是否可以在基于n维超立方体的无序CFI图上由CPT定义？
• RQ2 对于超立方体基图，是否存在具有所需对称性、多项式规模且有界扇入的对称XOR电路？
• RQ3 偶路径技术能否用于证明具有受限扇入和对称性的对称XOR电路的下界？
• RQ4 对称电路的结构中是否存在阻止其在超立方体上计算CFI查询的根本障碍？
• RQ5 基于交替支撑划分的新下界技术能否推广至其他对称电路类别？

主要发现

• 除非存在具有相同对称性、多项式规模且有界扇入的对称XOR电路族，否则CFI查询在n维超立方体上不可在CPT中定义。
• 当施加更强的对称性和扇入/扇出约束时，此类电路不存在，从而证明了近乎紧致的下界。
• 偶路径技术表明，由于自同构作用下的路径抵消，对称电路无法对足够多的输入位保持敏感。
• 群论分析表明，超立方体对称电路中的交替支撑划分无法包含线性数量的单元素部分。
• 扇入维数被对数界约束，且该约束与轨道层面的父节点/子节点计数结合，限制了电路的表达能力。
• 所提出的方法避免了对强支撑定理的依赖，使其可应用于弱于以往方法的对称群。