[论文解读] Lower Bounds for diophantine Approximation

M Giusti, Joos Heintz+4 more|ArXiv.org|Aug 13, 1996

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于直线程序和符号牛顿迭代的亚指数算法，用于求解多元多项式系统，从而为零维系统到代数整数的丢番图逼近的对数高度建立了内在下界——将刘维尔定理推广至多变量情形，并为代数几何中的代数逼近理论奠定了复杂性理论基础。

ABSTRACT

We introduce a subexponential algorithm for geometric solving of multivariate polynomial equation systems whose bit complexity depends mainly on intrinsic geometric invariants of the solution set. From this algorithm, we derive a new procedure for the decision of consistency of polynomial equation systems whose bit complexity is subexponential, too. As a byproduct, we analyze the division of a polynomial modulo a reduced complete intersection ideal and from this, we obtain an intrinsic lower bound for the logarithmic height of diophantine approximations to a given solution of a zero--dimensional polynomial equation system. This result represents a multivariate version of Liouville's classical theorem on approximation of algebraic numbers by rationals. A special feature of our procedures is their {\em polynomial} character with respect to the mentioned geometric invariants when instead of bit operations only arithmetic operations are counted at unit cost. Technically our paper relies on the use of straight--line programs as a data structure for the encoding of polynomials, on a new symbolic application of Newton's algorithm to the Implicit Function Theorem and on a special, basis independent trace formula for affine Gorenstein algebras.

研究动机与目标

• 开发一种求解零维多项式系统的亚指数时间算法，其位复杂度依赖于内在几何不变量。
• 建立一种决策过程，用于判断多项式方程组的一致性，其位复杂度为亚指数。
• 推导出零维系统解的丢番图逼近的对数高度的内在下界。
• 将刘维尔关于代数数有理逼近的经典定理推广至多变量情形。
• 通过使用直线程序作为数据结构，展示算术运算的多项式时间行为。

提出的方法

• 采用直线程序作为编码多项式的紧凑数据结构，以降低计算复杂度。
• 应用牛顿算法的符号变体于隐函数定理，以高效求解多项式系统的局部解。
• 利用仿射戈伦斯坦代数的基无关迹公式，分析解集而不依赖于单项式基。
• 通过模约化完全交截理想进行多项式除法，推导出丢番图逼近的高度界。
• 将几何不变量（如次数和贝蒂数）与算法复杂度相结合，以界定逼近质量。
• 利用零维理想的结构，定义与丢番图逼近相关的解复杂度的内在度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 零维多项式系统解的有理逼近的最小对数高度是多少？
• RQ2 如何利用内在几何不变量来界定求解多元多项式系统的位复杂度？
• RQ3 能否构建一种亚指数算法，用于判断多项式系统的一致性，且其复杂度依赖于解的几何结构？
• RQ4 在多变量情形下，丢番图逼近的下界与经典单变量情形有何不同？
• RQ5 在代数计算中，算术复杂度在多大程度上可与位复杂度分离？

主要发现

• 本文为零维多项式系统解的丢番图逼近的对数高度建立了新的内在下界，将刘维尔定理推广至多变量情形。
• 开发了一种求解多元多项式系统的亚指数算法，其位复杂度依赖于如次数和贝蒂数等几何不变量。
• 一致性判断的决策过程也实现了亚指数位复杂度，其依赖于相同的算法框架。
• 使用直线程序使得算术运算呈现多项式时间行为，凸显了算术复杂度与位复杂度之间的分离。
• 仿射戈伦斯坦代数的基无关迹公式在推导高度界时发挥了关键作用，且无需依赖单项式基的计算。
• 研究结果表明，丢番图逼近的质量从根本上受到解集几何复杂度的制约。