[论文解读] Lower bounds for Gromov width in the SO(n) coadjoint orbits

Milena Pabiniak|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用 4

一句话总结

本论文利用 Gelfand-Tsetlin 系统和环面作用，为特殊正交群 SO(2n+1) 和 SO(2n) 中的正则余伴随轨道的 Gromov 宽度建立了下界。证明了 Gromov 宽度至少为所有正余根 α∨ 上 |⟨α∨,λ⟩| 的最小值，在许多情况下与已知的上界一致，并将结果扩展至 SO(2n+1) 中的某些非正则轨道。

ABSTRACT

Let G be a compact connected Lie group G and T its maximal torus. The coadjoint orbit O_λ through λin the dual of the Lie algebra of T, is canonically a symplectic manifold. Therefore we can ask the question of its Gromov width. In many known cases the width is exactly the minimum over the positive results of pairing λwith coroots: min{< α_j^{\vee},λ> ; α_j^{\vee} is a coroot and < α_j^{\vee},λ> is positive}. We will show that the Gromov width for regular coadjoint orbits of the special orthogonal group is at least this minimum. The proof uses the torus action coming from the Gelfand-Tsetlin system.

研究动机与目标

• 确定 SO(2n+1) 和 SO(2n) 中正则余伴随轨道的 Gromov 宽度作为辛不变量。
• 建立一个下界，使其与文献中已知的上界一致。
• 利用 Gelfand-Tsetlin 系统的结构，将结果扩展至 SO(2n+1) 中的某些非正则轨道。
• 应用 Karshon-Tolman 定理（通过动量多面体）于辛嵌入，以构造辛球嵌入。

提出的方法

• 利用 Gelfand-Tsetlin 系统在 SO(2n+1) 和 SO(2n) 的余伴随轨道上定义一个哈密顿环面作用。
• 分析 Gelfand-Tsetlin 多面体，以计算环面作用的等周权重，从而确定动量映射的结构。
• 应用 Karshon-Tolman 定理（命题 2.2）通过多面体的几何结构来构造辛球嵌入。
• 计算所有正余根 α∨ 上 |⟨α∨,λ⟩| 的最小值，以定义 Gromov 宽度的候选下界。
• 使用 L(a) 和 R(α) 显式表示李代数及其对偶的矩阵形式，以描述余伴随轨道及其 Weyl 单元。
• 在 so(2k)∗ 中构造具有指定特征多项式的实矩阵，以确保所需辛嵌入的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 SO(2n+1) 和 SO(2n) 中正则余伴随轨道的 Gromov 宽度是多少？
• RQ2 能否通过几何与表示论方法，使已知的 Gromov 宽度上界成为下界？
• RQ3 Gelfand-Tsetlin 系统是否提供了足够的结构，以构造半径等于最小余根配对的辛球嵌入？
• RQ4 该结果在多大程度上可超越正则轨道，特别是在 SO(2n+1) 中？
• RQ5 Gelfand-Tsetlin 环面作用的等周权重是否足以通过动量多面体分析确定 Gromov 宽度？

主要发现

• SO(2n+1) 中正则余伴随轨道的 Gromov 宽度至少为 min{λ₁−λ₂, ..., λₙ₋₁−λₙ, 2λₙ}。
• SO(2n) 中正则余伴随轨道的 Gromov 宽度至少为 min{λ₁−λ₂, ..., λₙ₋₁−λₙ, λₙ₋₁+λₙ}。
• 对于 SO(2n+1)，该结果可扩展至某些非正则轨道，此时最小值仍由相同表达式实现。
• 该下界与 Zoghi 在 [Z] 中建立的上界一致，意味着在这些情况下 Gromov 宽度恰好等于该最小值。
• 辛嵌入的构造依赖于 Gelfand-Tsetlin 多面体和等周权重，从而确保半径等于最小余根配对的球的存在性。
• 证明利用了 Gelfand-Tsetlin 系统提供中心化哈密顿环面作用的事实，从而可应用 Karshon-Tolman 定理进行球嵌入。