[论文解读] Lower bounds for moments of L-functions: symplectic and orthogonal examples

Zeév Rudnick, K. Soundararajan|ArXiv.org|Jan 20, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 22

一句话总结

本文建立了正交族与辛族L-函数中心L-值矩量的非平凡下界，其阶量与猜想一致。利用谱方法与近似函数方程，证明了对于偶数 r 和 k，权 k ≡ 0 mod 4 的全纯尖点形式 f 的 L(1/2, f) 的 r 阶矩量增长为 (log k)^{r(r−1)/2}，而二次狄利克雷特征 χ_d 的 L(1/2, χ_d) 的 k 阶矩量增长为 X(log X)^{k(k+1)/2}，与凯廷-斯奈思猜想的渐近行为一致。

ABSTRACT

We give lower bounds of the conjectured order of magnitude for an orthogonal and a symplectic family of L-functions.

研究动机与目标

• 建立正交族与辛族L-函数矩量的正确阶量下界，其猜想的生长速率如对数的幂次或 X 乘以对数项。
• 将作者先前针对酉族的方法扩展至正交族与辛族，从而在对称类型上完整呈现矩量下界的图景。
• 验证所得到的下界与凯廷-斯奈思猜想在这些族中矩量的渐近预测一致。

提出的方法

• 利用由彼得松范数导出的调和权，定义权为 1 且大权 k ≡ 0 mod 4 的全纯尖点形式上的加权矩量。
• 对 L(1/2, f) 应用近似函数方程，将中心L-值表示为涉及赫克特征值与光滑权函数 W(ξ) 的和。
• 引入截断和 A(f, x) = ∑_{n≤x} λ_f(n)/√n，以构造涉及 A(f)^{r−1} 与 L(1/2, f) 的矩量，从而可应用谱技术。
• 利用彼得松迹公式与特征和估计分析关于基本判别式 d 的和，使用莫比乌斯函数与二次特征和。
• 应用部分求和法与乘法函数的界来控制误差项，并分离出主项，该主项出现在乘积 nn₁⋯n_{k−1} 为完全平方时。
• 利用对奇数无平方因子整数上除数和的已知渐近估计，表明主项对辛族贡献为 X(log X)^{k(k+1)/2}。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于权 k ≡ 0 mod 4 的全纯尖点形式 f，L(1/2, f) 的 r 阶矩量的正确阶量为何？能否被猜想的 (log k)^{r(r−1)/2} 从下方控制？
• RQ2 凯廷-斯奈思猜想中关于二次狄利克雷特征 χ_d 的 L(1/2, χ_d) 的 k 阶矩量是否可从下方验证，其预测的生长速率为 X(log X)^{k(k+1)/2}？
• RQ3 用于酉族的方法是否可推广至正交族与辛族？能否产生与猜想渐近行为一致的精确下界？

主要发现

• 对于任意偶数 r，权 k ≡ 0 mod 4 的全纯尖点形式 f 的 L(1/2, f) 的 r 阶矩量满足 ∑_{f∈H_k} ω_f^{-1} L(1/2, f)^r ≫_r (log k)^{r(r−1)/2}。
• 对于每个偶数 k，对 |d| ≤ X 的基本判别式 d，L(1/2, χ_d) 的 k 阶矩量满足 ∑_{|d|≤X}^♭ L(1/2, χ_d)^k ≫_k X(log X)^{k(k+1)/2}。
• 二次L-函数四阶矩量的下界与凯廷-斯奈思渐近猜想完全一致，主项为 (D(4) + o(1))X(log X)^10。
• 当 k 不是偶数时，可通过将 L(1/2, χ_d)^k 替换为 |L(1/2, χ_d)|^k，将方法推广至 k ≥ 1 的有理指数。
• 在辛族情形下，主项出现在索引乘积为完全平方时，其大小由奇数无平方因子整数上的除数和控制，从而得到正确的对数幂次。