[论文解读] Lower bounds for moments of zeta and $L$-functions revisited

Winston Heap, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 21

一句话总结

本文提出一种新方法，通过使用短Dirichlet多项式对截断Euler乘积进行逼近，建立Riemann zeta函数和临界线上的$L$-函数的矩的精确下界。结果表明，当$T$足够大且$k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$时，$|\frac{1}{2}+it|$的$2k$阶矩满足下界$C_k T (\log T)^{k^2}$，其中常数$C_k$显式给出，该结果将先前仅在条件成立或仅针对有理$k$的结果推广至临界范围$0 < k \leq 1$，并实现了无条件的改进。

ABSTRACT

This paper describes a method to compute lower bounds for moments of $ζ$ and $L$-functions. The method is illustrated in the case of moments of $|ζ(\frac 12+it)|$, where the results are new for small moments $0&lt; k&lt;1$.

研究动机与目标

• 建立Riemann zeta函数$\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$在$0 < k \leq 1$范围内的矩的精确下界，且下界阶数正确，此前结果多为条件性或仅限于有理$k$。
• 将此前用于上界估计的短Dirichlet多项式逼近Euler乘积的方法，拓展至下界估计这一互补问题。
• 为$L$-函数族（包括Dirichlet $L$-函数的中心值、二次扭曲及第二矩未知的$L$-函数族）提供无条件且可量化的矩下界。
• 通过统一处理小矩与大矩，证明同一方法在$k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$范围内均能给出最优下界。

提出的方法

• 该方法构造一个Dirichlet多项式$\mathcal{N}(s, \alpha)$，通过在dyadic区间上截断求和，逼近Euler乘积$\prod_p (1 - p^{-s})^{-\alpha}$。
• 构造过程将素数划分为dyadic区间$[T_{j-1}, T_j)$，其中$T_j$的选择使得部分和$P_j = \sum_{T_{j-1} \leq p < T_j} \frac{1}{p}$呈对数增长。
• 对每个区间，定义多项式$\mathcal{N}_j(s, \alpha)$为截断指数级数$\sum_{r=0}^{K_j} \frac{1}{r!} (\alpha \mathcal{P}_j(s))^{\,r}$，其中$\mathcal{P}_j(s)$为第$j$个素数区间上的Dirichlet多项式。
• 关键思想是利用Hölder不等式，将$|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$的$2k$阶矩与这些多项式乘积的$L^2$-范数联系起来，利用正交性和均值估计。
• 应用Dirichlet多项式均值定理，估计$\mathcal{N}_j(\tfrac{1}{2}+it, k)$的$L^2$-范数，得到关于素数的乘积$\prod_p (1 + \frac{k^2}{p})$，其渐近等价于$(\log T)^{k^2}$。
• 该方法通过调整$T_j$和$K_j$的定义，并仅使用一阶与二阶矩估计，推广至$k \geq 1$的情形，避免了在$k \geq 1$时对二阶矩控制的需求。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将通过短Dirichlet多项式逼近Euler乘积的方法，调整用于$0 < k \leq 1$范围内$|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$矩的精确下界？
• RQ2 对于$k \in (0,1)$，$|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$的$2k$阶矩的最优下界是什么？能否实现无条件且可量化的表达？
• RQ3 该方法能否推广至其他$L$-函数族，特别是第二矩未知的族，如新形式的二次扭曲？
• RQ4 在Riemann假设下，$|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$大值测度的下界与条件结果相比如何？
• RQ5 该方法能否导出一个统一的下界，使得$2k$阶矩在$k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$范围内均与猜想的阶$T (\log T)^{k^2}$一致？

主要发现

• 当$T$足够大且$k \in [( olimits\log T)^{-1/2}, 2]$时，$|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$的$2k$阶矩满足下界$\int_T^{2T} |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|^{2k} dt \gg_k T (\log T)^{k^2}$，其中显式常数为：当$k \leq 1$时$C_k = C_1 k$，当$k > 1$时$C_k = (C_2 k^2 \log(ek))^{-k^2}$。
• 该下界为无条件结果，优于此前需依赖Riemann假设或仅限于有理$k$的结果。
• 结合Heap、Radziwiłł与Soundararajan的上界估计，可证明在$k \in [( olimits\log T)^{-1/2}, 2]$范围内，矩的阶为$T (\log T)^{k^2}$，从而确认了猜想的渐近阶。
• 该方法对大值测度也给出精确下界：$\text{meas}\{t \in [T,2T] : |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \geq e^V\} = T \exp\Big{(} -\frac{V^2}{\log\log T} + O\Big{(}\frac{V \log\log\log T}{\sqrt{\log\log T}}\Big{)}\Big{)}$，其中$V$满足$\sqrt{\log\log T} \log\log\log T \leq V \leq 2\log\log T - \cdots$。
• 该方法适用于其他$L$-函数族：对模为素数$q$的Dirichlet $L$-函数，有$\sum_{\chi \pmod{q}} |L(\tfrac{1}{2}, \chi)|^{2k} \gg_k q (\log q)^{k^2}$；对二次扭曲，有$\sum_{|d| \leq X}^\flat |L(\tfrac{1}{2}, \chi_d)|^{k} \gg_k X (\log X)^{k(k+1)/2}$。
• 对新形式$f$的二次扭曲，即使第二矩未知，该方法仍可导出$\sum_{|d| \leq X}^\flat L(\tfrac{1}{2}, f \times \chi_d)^k \gg_k X (\log X)^{k(k-1)/2}$对所有$k \geq 1$成立。