[论文解读] Lower Bounds for Multiplication via Network Coding

Peyman Afshani, Casper Benjamin Freksen+2 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Feb 28, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文在无向 $k$-对网络编码猜想成立的假设下，建立了布尔电路计算乘法或移位操作的条件 $Ω(n\lg n)$ 下界。该结果表明，乘法无法由大小为 $O(n)$ 的常数度电路计算，几乎匹配 Fürer 的上界，证明乘法比加法更难计算。

ABSTRACT

Multiplication is one of the most fundamental computational problems, yet its true complexity remains elusive. The best known upper bound, by Fürer, shows that two $n$-bit numbers can be multiplied via a boolean circuit of size $O(n \lg n \cdot 4^{\lg^*n})$, where $\lg^*n$ is the very slowly growing iterated logarithm. In this work, we prove that if a central conjecture in the area of network coding is true, then any constant degree boolean circuit for multiplication must have size $Ω(n \lg n)$, thus almost completely settling the complexity of multiplication circuits. We additionally revisit classic conjectures in circuit complexity, due to Valiant, and show that the network coding conjecture also implies one of Valiant's conjectures.

研究动机与目标

• 建立乘法电路复杂度的条件下界，这是一个基础计算问题。
• 将乘法的复杂度与核心的无向 $k$-对网络编码猜想联系起来。
• 表明即使更简单的移位问题，在相同猜想下也需 $Ω(n\lg n)$ 的电路规模。
• 证明网络编码猜想可推出电路复杂度领域长期存在的猜想，包括 Valiant 的深度简化猜想。
• 提出一种基于网络编码原理推导电路下界的新框架。

提出的方法

• 将乘法问题约化为移位问题，其中将字符串右移 $j$ 位等价于乘以 $2^j$。
• 构建一个具有 $n/k$ 个源-汇对的网络编码实例，将移位操作建模为通信任务。
• 使用 $\mathcal{F}$-校正游戏模拟信息流，并推导边上的熵约束。
• 应用香农信源编码定理，将消息在边上的熵限制与边容量关联起来。
• 在无向网络版本上应用多商品流分析，假设网络编码猜想成立。
• 通过结合流守恒、熵界和容量约束，推导出子图中边数的下界。

Figure 1: The depth $3$ circuit $C$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 在常数度布尔电路中，乘法的复杂度能否被下界限定为 $\Omega(n\lg n)$？
• RQ2 无向 $k$-对网络编码猜想是否意味着对基本算术运算的强电路下界？
• RQ3 作为乘法的特例，移位操作在电路复杂度中是否本质上比加法更复杂？
• RQ4 网络编码猜想是否蕴含 Valiant 关于布尔电路深度简化的猜想？
• RQ5 能否使用基于网络编码的约化方法，为其他计算问题推导出紧致的下界？

主要发现

• 在无向 $k$-对网络编码猜想成立的假设下，任何用于乘法的常数度布尔电路的大小必须为 $\Omega(n\lg n)$。
• 相同的下界也适用于更简单的移位问题，即一个 $n$-位字符串按 $\lg n$-位索引进行移位。
• 该结果几乎匹配 Fürer 的上界 $O(n\lg n \cdot 4^{\lg^* n})$，表明乘法比加法更难计算。
• 网络编码猜想蕴含 Valiant 的深度简化猜想，将电路复杂度领域的两个主要开放问题联系起来。
• 该证明技术可推广至循环移位，表明相同的下界也适用于该变体。

Figure 2: Given the $2$ -layer circuit $\Gamma$ spanned by $x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{n}$ , we construct the communication network graph $G$ .