[论文解读] Lower Bounds for Set-Blocked Clauses Proofs

Emre Yolcu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 1

一句话总结

该论文通过使用鸽巢原理的二进制编码，建立了集合阻塞子句证明（SBC−）的指数下界，证明SBC−比扩展分辨率（ER）弱得多。此外，还表明RAT−和GER−也与SBC−存在指数级分离，从而完整建立了弱扩展分辨率系统之间相对强度的层次结构。

ABSTRACT

We study propositional proof systems with inference rules that formalize restricted versions of the ability to make assumptions that hold without loss of generality, commonly used informally to shorten proofs. Each system we study is built on resolution. They are called BC${}^-$, RAT${}^-$, SBC${}^-$, and GER${}^-$, denoting respectively blocked clauses, resolution asymmetric tautologies, set-blocked clauses, and generalized extended resolution - all "without new variables." They may be viewed as weak versions of extended resolution (ER) since they are defined by first generalizing the extension rule and then taking away the ability to introduce new variables. Except for SBC${}^-$, they are known to be strictly between resolution and extended resolution. Several separations between these systems were proved earlier by exploiting the fact that they effectively simulate ER. We answer the questions left open: We prove exponential lower bounds for SBC${}^-$ proofs of a binary encoding of the pigeonhole principle, which separates ER from SBC${}^-$. Using this new separation, we prove that both RAT${}^-$ and GER${}^-$ are exponentially separated from SBC${}^-$. This completes the picture of their relative strengths.

研究动机与目标

• 解决关于弱扩展分辨率系统之间相对证明复杂度的开放问题。
• 在SBC−、RAT−、GER−和扩展分辨率（ER）之间建立完整的分离层次结构。
• 证明SBC−无法多项式时间模拟ER，即使其具备无损一般性的推理能力。
• 提出一种基于赋值限制和子句阻塞性质的新分离技术。

提出的方法

• 使用鸽巢原理的二进制编码（BPHPn）作为证明复杂度下界分析的难公式。
• 引入一种受限赋值α，仅保留不包含X ∪ U中变量的集合阻塞子句。
• 基于集合阻塞子句推理规则引入阻塞条件，以模拟SBC−的推导过程。
• 采用证明转换技术，表明Σ|α中的子句可由Γ通过SBC−推导得出。
• 利用GER−和SPR−中已知的多项式大小证明，建立大小比较关系。
• 通过组合计数（|∆| < 2m）导出矛盾，从而强制得出指数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 SBC−能否多项式时间模拟扩展分辨率（ER）？
• RQ2 RAT−和GER−是否比SBC−指数更强？
• RQ3 SBC−对二进制鸽巢原理的精确证明复杂度是多少？
• RQ4 SBC−具备无损一般性推理能力，是否仍不足以对难的组合原理实现多项式证明？
• RQ5 哪些子句的结构特性能够促进或阻碍SBC−中的高效推导？

主要发现

• SBC−对二进制鸽巢原理需要指数大小的证明，建立了2Ω(n)的下界。
• GER−对同一公式可实现多项式大小的证明，从而证明GER−与SBC−之间存在指数级分离。
• RAT−与SBC−之间也存在指数级分离，完成了分离层次结构的构建。
• 该证明技术依赖于构造一个特定赋值β′，使其在限制下仍保持子句阻塞性质。
• 尽管SBC−能够模拟某些形式的对称性推理，该下界依然成立。
• 结果证实，SBC−严格弱于ER，即使其具备处理鸽巢原理和Tseitin永真式等原理的能力。