[论文解读] Lower Bounds for the Decay of Correlations in Non-uniformly Expanding Maps

Huyi Hu, Sandro Vaienti|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文在紧致子集上建立了非一致扩张映射相关性衰减的多项式下界，即使在无马尔可夫划分或有界变分性的情况下也成立。通过在巴拿赫空间 B 中对首次返回映射的转移算子应用 Lasota-Yorke 不等式，并借助非周期性条件与返回时间范数的精确尾部估计，确保弱混合性，作者证明了在巴拿赫空间 B 中的可观测量的相关性衰减速率为 n^{β−1} 阶，其中 β = 1/γ，当映射在中性不动点附近表现如 x + x^{1+γ} 时成立。

ABSTRACT

We give conditions under which nonuniformly expanding maps exhibit lower bounds of polynomial type for the decay of correlations and for a large class of observables. We show that if the Lasota-Yorke type inequality for the transfer operator of a first return map are satisfied in a Banach space B, and the absolutely continuous invariant measure obtained is weak mixing, in terms of aperiodicity, then under some renewal condition, the maps have polynomial decay of correlations for observables in B. We also provide some general conditions that give aperiodicity for expanding maps in higher dimensional spaces. As applications, we obtain lower bounds for piecewise expanding maps with an indifferent fixed point and for which we also allow non-Markov structure and unbounded distortion. The observables are functions that have bounded variation or satisfy quasi-Hölder conditions and have their support bounded away from the neutral fixed points.

研究动机与目标

• 推导缺乏马尔可夫划分或有界变分性的非一致扩张映射的相关性衰减下界。
• 识别相关性衰减为多项式而非指数衰减的条件。
• 将非周期性与弱混合性结果推广至无马尔可夫结构的高维映射。
• 在有界变分或拟霍赫德勒空间中，为可观测量建立衰减速率，排除中性不动点邻域。
• 提供高维扩张映射中非周期性的普遍条件，使更新理论可应用于相关性衰减。

提出的方法

• 通过首次返回映射在诱导子系统上使用转移（Perron-Frobenius）算子分析相关性衰减。
• 在巴拿赫空间 B 中对转移算子应用 Lasota-Yorke 型不等式，确保谱控制。
• 施加更新条件：∑_{k=n+1}^∞ ||R_k|| ≤ C n^{-β}，其中 β > 1，以控制尾部行为。
• 要求返回时间函数 τ 的非周期性，以确保不变测度的弱混合性与遍历性。
• 使用拟霍赫德勒与有界变分函数空间定义巴拿赫空间 B，且可观测量的支集远离中性不动点。
• 通过斜积刚性与前像的几何控制，将一维非周期性结果（来自 [ADSZ] 与 [AD]）推广至高维。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非一致扩张映射表现出相关性衰减的多项式下界？
• RQ2 当映射具有中性不动点且缺乏有界变分性或马尔可夫结构时，衰减速率如何量化？
• RQ3 首次返回时间的非周期性在确保弱混合性与多项式衰减中起何种作用？
• RQ4 衰减速率能否与中性不动点附近的局部扩张行为（如 T(x) ≈ x + x^{1+γ}）相关联？
• RQ5 映射的何种几何与解析条件可确保算子范数 ||R_k|| 足够快地衰减，使更新理论方法适用？

主要发现

• 对于在中性不动点附近局部行为为 T(x) ≈ x + x^{1+γ} 的映射，相关性衰减的下界为 n^{β−1}，其中 β = 1/γ。
• 在给定假设下，衰减速率 n^{β−1} 是最优的，因为更新理论框架中误差项的衰减速率快于尾部和 ∑_{k=n+1}^∞ μ(τ > k)。
• 返回时间函数 τ 的非周期性等价于不变测度 μ 的弱混合性，这对多项式衰减至关重要。
• 返回时间 k 的层级集的转移算子范数 ||R_k|| 至少以 n^{-β} 速度衰减，从而确保衰减估计的更新条件。
• 在高维情况下，当所有该不动点邻域的前像均避开不连续点时，即使无马尔可夫划分，衰减速率仍得以保持。
• 结果适用于有界变分或拟霍赫德勒空间中的可观测量，只要其支集与中性不动点保持有界距离。