[论文解读] Lower bounds of gradient's blow-up for the Lamé system with partially infinite coefficients

Haigang Li|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 38被引用 5

一句话总结

该论文在二维和三维中，针对两个硬夹杂物接近时具有部分无穷系数的Lamé系统，建立了梯度爆破速率的精确下界。通过引入一个作为边界数据线性泛函的爆破因子，证明了先前建立的上界估计的最优性，确认了在二维中爆破速率为 $\varepsilon^{-1/2}$，在三维中为 $(\varepsilon|\log\varepsilon|)^{-1}$。

ABSTRACT

In composite material, the stress may be arbitrarily large in the narrow region between two close-to-touching hard inclusions. The stress is represented by the gradient of a solution to the Lamé system of linear elasticity. The aim of this paper is to establish lower bounds of the gradients of solutions of the Lamé system with partially infinite coefficients as the distance between the surfaces of discontinuity of the coefficients of the system tends to zero. Combining it with the pointwise upper bounds obtained in our previous work, the optimality of the blow-up rate of gradients is proved for inclusions with arbitrary shape in dimensions two and three. The key to show this is that we find a blow-up factor, a linear functional of the boundary data, to determine whether the blow-up will occur or not.

研究动机与目标

• 建立当两个夹杂物相互接近时，具有部分无穷系数的Lamé系统中梯度爆破速率的精确下界。
• 证明先前为高对比度复合材料中梯度爆破所推导的上界估计的最优性。
• 识别一个爆破因子，定义为边界数据的线性泛函，用以判断爆破是否发生。
• 将该方法推广至理想导电问题，为下界提供一种新的证明。
• 解决相邻夹杂物之间狭窄区域中应力集中现象的定量行为。

提出的方法

• 引入一个从夹杂物接触时极限问题的解中导出的爆破因子，作为梯度爆破的判据。
• 将解分解为调和部分与校正项，利用极限问题的解来分析爆破行为。
• 在辅助区域上应用精细估计与最大值原理，以控制边界层项并导出一致有界性。
• 采用基于能量的迭代技术与渐近分析，比较 $\varepsilon$ 分离与接触情形下的解。
• 利用分部积分与迹估计，将法向导数的边界积分与爆破因子联系起来。
• 在 $\widetilde{\Omega}$ 与 $\widetilde{\Omega}^*$ 中的解之间建立比较估计，引入误差项 $O(\rho_d(\varepsilon))$ 以控制扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个硬夹杂物在二维和三维中相互接近时，Lamé系统中梯度的精确爆破速率是什么？
• RQ2 能否通过下界估计证明先前建立的梯度爆破上界估计的最优性？
• RQ3 边界数据在判断梯度爆破是否发生中起什么作用？
• RQ4 如何利用通过极限问题定义的爆破因子来表征爆破的发生时机与速率？
• RQ5 该方法能否被调整以证明理想导电问题中具有类似奇异行为的下界？

主要发现

• 当夹杂物间距 $\varepsilon$ 趋近于零时，二维中梯度爆破速率最优为 $\varepsilon^{-1/2}$。
• 在三维中，最优爆破速率为 $(\varepsilon|\log\varepsilon|)^{-1}$，证实了先前上界估计的精确性。
• 爆破因子作为边界数据的线性泛函，决定了爆破是否发生，提供了物理解释与分析判据。
• 该方法允许通过定义类似爆破因子，为理想导电问题的下界提供一种新且简化的证明。
• 分析确认了硬夹杂物之间狭窄区域中的应力集中是定量最优的，而非上界估计的副产品。
• 在扰动区域上应用精细估计与最大值原理，确保了下界估计在不同几何形状与维度下的鲁棒性。