[论文解读] Lower bounds of martingale measure densities in the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过使用资产价格增量的条件分布和 $L^p$-空间中的对偶性，建立了关于等价鞅测度密度下界由给定随机变量 $f$ 限定的充分条件。关键贡献在于，以在损失约束下效用函数有界性来表征此类下界，从而弥补了达朗-莫顿-威尔金森定理在非均匀下界情况下的空白。

ABSTRACT

For a $d$-dimensional stochastic process $(S_n)_{n=0}^N$ we obtain criteria for the existence of an equivalent martingale measure, whose density $z$, up to a normalizing constant, is bounded from below by a given random variable $f$. We consider the case of one-period model (N=1) under the assumptions $S\in L^p$; $f,z\in L^q$, $1/p+1/q=1$, where $p\in [1,\infty]$, and the case of $N$-period model for $p=\infty$. The mentioned criteria are expressed in terms of the conditional distributions of the increments of $S$, as well as in terms of the boundedness from above of an utility function related to some optimal investment problem under the loss constraints. Several examples are presented.

研究动机与目标

• 通过表征 Radon-Nikodym 密度被给定随机变量 $f$ 从下方有界的等价鞅测度的存在性，扩展达朗-莫顿-威尔金森定理。
• 以资产价格增量 $\Delta S_n$ 的条件分布为依据，提供此类下界存在的必要与充分条件。
• 解决在 $p=\infty$ 情况下（先前对偶结果失效）鞅测度密度从下有界的统一有界性问题。
• 将该问题与在损失约束下的最优投资联系起来，表明此类测度的存在性与 $L^p$-损失约束下期望收益有界性等价。
• 通过反例纠正先前文献（[6] 中的定理 6.1）中的错误结果，表明在 $L^\infty$ 设置下，$\langle X,f\rangle$ 在 $K_1$ 上有界并不蕴含存在下界有界的密度。

提出的方法

• 使用共轭指数 $q$ 满足 $1/p + 1/q = 1$ 的 $L^p$-空间对偶性，将下界有界的鞅测度密度的存在性重述为对偶空间中的可行性问题。
• 将条件 $g \geq f$ a.s. 且对所有 $X \in K$（收益过程空间）有 $\langle X,g\rangle = 0$，转化为在归一化子集 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$ 上 $\langle X,f\rangle$ 的有界性条件。
• 在 $S \in L^p$，$f,z \in L^q$ 的一周期情形，以及 $p=\infty$ 的 $N$-周期情形下，利用 $\Delta S_n$ 关于 $\mathscr{F}_{n-1}$ 的正则条件分布进行分析。
• 引入可测集值映射 $\varkappa_{n-1}(\omega)$ 作为 $\Delta S_n$ 条件分布的支撑，并以该支撑的相对内部包含原点作为关键几何条件。
• 应用泛函分析结果，特别是 Mackey 拓扑 $\tau(L^\infty, L^1)$，以处理标准对偶性失效的 $p=\infty$ 情况。
• 构造显式反例（如例 5.4）表明，即使在 $p=\infty$ 时 $\sup_{X \in K_1} \langle X,f\rangle < \infty$，也不存在下界有界的密度 $g$，从而否定了 [6] 中的论断。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在一个等价鞅测度，其 Radon-Nikodym 密度被给定随机变量 $f$ 从下方有界？
• RQ2 此类测度的存在性如何通过资产价格增量 $\Delta S_n$ 的条件分布来表征？
• RQ3 为何 [6] 中的对偶结果在 $L^\infty$ 设置下失效？存在下界有界密度的正确条件是什么？
• RQ4 能否将下界有界鞅测度的存在性与在损失约束下期望收益的有界性联系起来？
• RQ5 资产价格增量 $\Delta S_n$ 支撑的凸包的相对内部在确保此类测度存在中起什么作用？

主要发现

• 对于 $p \in (1,\infty)$，存在密度被 $f$ 从下方有界的鞅测度，当且仅当 $\langle X,f\rangle$ 在集合 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$ 上有界。
• 在 $p=\infty$ 情况下，$\langle X,f\rangle$ 在 $K_1$ 上有界并不充分；必须要求 $f$ 在 Mackey 拓扑 $\tau(L^\infty, L^1)$ 中零点邻域上有上界。
• 反例（例 5.4）表明，即使当 $f=1$ 时 $\sup_{X \in K_1} \langle X,f\rangle < \infty$，也不存在一致下界有界的密度 $g$，从而否定了 [6] 中的定理 6.1。
• 相对内部 $\text{conv}(\varkappa_{n-1})$ 几乎必然包含原点的条件是必要但不充分的；还需额外的可积性与有界性条件。
• 若存在密度被正数 $c$ 从下方有界的鞅测度，则对某些集合 $A_j$ 有 $\mathsf{E}(g I_{A_j}) \geq c/2$，若 $\mathsf{P}(A_j) \to 0$，这将与控制收敛定理矛盾，表明必须仔细考虑支撑与矩条件。
• 本文构造了一个策略 $\gamma$，使得 $\mathsf{E}G_2^\gamma = \infty$ 但 $G_2^\gamma \geq -1$ a.s.，表明即使单期收益有界，期望收益在有界损失下仍可能无界。