[论文解读] Lower Bounds of the Discretization for Piecewise Polynomials

Qun Lin, Hehu Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了椭圆型问题和特征值问题中分片多项式有限元近似离散化误差的精确下界。通过证明当精确解不在有限元空间中时，Sobolev 范数下的误差被下界控制为 $ ch^{r-j} $，本文确认了标准上界估计的最优性，并在网格和解正则性假设最小的条件下验证了有限元收敛速率的精确性。

ABSTRACT

Assume that $V_h$ is a space of piecewise polynomials of degree less than $r\geq 1$ on a family of quasi-uniform triangulation of size $h$. Then the following well-known upper bound holds for a sufficiently smooth function $u$ and $p\in [1, \infty]$ $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \le C h^{r-j} |u|_{r,p,Ω},\quad 0\le j\le r. $$ In this paper, we prove that, roughly speaking, if $u ot\in V_h$, the above estimate is sharp. Namely, $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \ge c h^{r-j},\quad 0\le j\le r, \ \ 1\leq p\leq \infty, $$ for some $c>0$. The above result is further extended to various situations including more general Sobolev space norms, general shape regular grids and many different types of finite element spaces. As an application, the sharpness of finite element approximation of elliptic problems and the corresponding eigenvalue problems is established.

研究动机与目标

• 建立分片多项式有限元近似中离散化误差的精确下界。
• 通过证明存在与 $ h^{r-j} $ 成正比的正下界，证实标准上界误差估计的最优性。
• 将下界结果推广至一般形状正则和拟均匀网格，以及包括 conforming 与 nonconforming 类型在内的多种有限元空间。
• 将下界应用于确认二阶与 $ 2m $ 阶椭圆问题及其特征对问题的有限元近似收敛速率的精确性。

提出的方法

• 利用 Sobolev 范数和在拟均匀三角剖分上的分片多项式逼近，推导最佳逼近误差 $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} $ 的下界。
• 采用一个关键技术条件：若精确解 $ u $ 不属于 $ V_h $，则其在任意子区域 $ G \subset\subset \Omega $ 上的 $ r $ 阶 Sobolev 半范数 $ |u|_{r,p,G} > 0 $。
• 将下界结果应用于基于变分形式和离散特征对问题的二阶与 $ 2m $ 阶椭圆问题的有限元方法。
• 利用超收敛性和插值理论，在最小光滑性与网格正则性假设下推导下界。
• 通过验证对某些满足 $ |\gamma| = r $ 的 $ \gamma $，有 $ D^\gamma v_h = 0 $，将结果推广至非 conforming 单元（如 Morley 和 MWX 单元）。
• 在 $ L^p $ 和 Sobolev 范数下，为解和特征函数逼近建立下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 分片多项式逼近的标准上界误差 $ Ch^{r-j} $ 是否在存在匹配下界的意义上是精确的？
• RQ2 在何种解与网格条件下，有限元近似的离散化误差满足 $ \|u - u_h\|_{j,p} \geq c h^{r-j} $？
• RQ3 能否通过下界严格证明 $ 2m $ 阶椭圆问题及其特征值问题的有限元近似具有精确性？
• RQ4 非 conforming 有限元方法（如 Morley 或 MWX 单元）是否也满足离散化误差的最优下界？

主要发现

• 对任意足够光滑且 $ u \notin V_h $ 的函数，最佳逼近误差满足 $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} \geq c h^{r-j} $，其中 $ 0 \leq j \leq r $ 且 $ 1 \leq p \leq \infty $，常数 $ c > 0 $ 与 $ h $ 无关。
• 该下界在拟均匀及一般形状正则三角剖分下成立，将先前结果推广至更广泛的网格类别。
• 对于二阶椭圆问题，有限元解满足 $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C h^{r-j} $，确认了收敛速率的精确性。
• 对于 $ 2m $ 阶椭圆问题，相同下界适用于解与特征函数逼近，其中 MWX 单元族的 $ r = m+1 $。
• 特征对逼近误差满足 $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C_{19} h^{r-j} $，适用于拟均匀网格；在一般正则网格下，虽较弱但仍非零的下界成立。
• 该结果适用于多种有限元类型，包括 Argyris、Hsieh-Clough-Tocher、Morley 和 MWX 单元，前提是解在任意子区域上不为次数 $ r $ 的多项式。