[论文解读] Lower bounds on maximal determinants of +-1 matrices via the probabilistic method

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 60被引用 9

一句话总结

该论文利用概率方法建立了 $n \times n$ $\pm 1$-矩阵最大行列式的新型下界，表明归一化行列式 $\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$ 被一个仅依赖于 $d = n - h$ 的正的常数 $\kappa_d$ 所下界，其中 $h$ 是不超过 $n$ 的最大 Hadamard 阶。关键结果通过使下界对固定的 $d$ 独立于 $n$，改进了以往的界限，给出了如 $\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$ 对所有 $n$ 成立的显式界限，以及在 Hadamard 猜想成立下 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$ 的结果。

ABSTRACT

We show that the maximal determinant D(n) for $n imes n$ ${\pm 1}$-matrices satisfies $R(n) := D(n)/n^{n/2} \ge κ_d > 0$. Here $n^{n/2}$ is the Hadamard upper bound, and $κ_d$ depends only on $d := n-h$, where $h$ is the maximal order of a Hadamard matrix with $h \le n$. Previous lower bounds on R(n) depend on both $d$ and $n$. Our bounds are improvements, for all sufficiently large $n$, if $d > 1$. We give various lower bounds on R(n) that depend only on $d$. For example, $R(n) \ge 0.07 (0.352)^d > 3^{-(d+3)}$. For any fixed $d \ge 0$ we have $R(n) \ge (2/(πe))^{d/2}$ for all sufficiently large $n$ (and conjecturally for all positive $n$). If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$ and $κ_d \ge (2/(πe))^{d/2} > 1/9$.

研究动机与目标

• 建立 $n \times n$ $\pm 1$-矩阵最大行列式 $D(n)$ 的改进下界，特别是针对 $n$ 不被 4 整除的情形。
• 证明归一化行列式 $\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$ 被一个仅依赖于 $d = n - h$ 的正的常数 $\kappa_d$ 所下界，其中 $h$ 是不超过 $n$ 的最大 Hadamard 阶，而非同时依赖于 $n$ 和 $d$。
• 改进以往随 $n$ 衰减的界限（如 $(3/4)^{n/2}$），通过推导对固定 $d$ 独立于 $n$ 的界限。
• 通过计算处理异常情况，验证所有 $n$ 的界限，确保结果普遍成立。

提出的方法

• 通过在 $h \times h$ Hadamard 矩阵基础上，添加 $d = n - h$ 个新的 $\pm 1$ 行和列（每列含 $d$ 个随机 $\pm 1$ 元素），构造一个 $n \times n$ 的 $\pm 1$-矩阵。
• 利用 Hadamard 块的 Schur 补表示完整矩阵的行列式，从而实现对行列式期望值的概率分析。
• 应用 Hoeffding 尾部不等式，证明在高概率下 Schur 补是严格对角占优的，因此其行列式接近于对角线元素乘积。
• 利用新不等式（引理 8 和 10）推导对角占优矩阵行列式的新型下界，其精度优于 Gerschgorin 定理的界限。
• 在 Magma 中使用随机化算法，对未被渐近定理覆盖的异常 $n$ 计算 $\mathcal{R}(n)$ 的下界，采用 Paley 矩阵或会议矩阵构造。
• 通过测试附近素数和会议矩阵，处理中间 Hadamard 阶可能存在的边界情况，确保界限普遍成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使 $\mathcal{R}(n)$ 的下界对固定的 $d = n - h$（其中 $h$ 是不超过 $n$ 的最大 Hadamard 阶）独立于 $n$？
• RQ2 在已知 Hadamard 阶之间存在间隙的前提下，$\mathcal{R}(n)$ 的最佳可能普遍下界是什么？
• RQ3 概率方法能否导出比以往结果（如 $(3/4)^{n/2}$）更紧、不随 $n$ 衰减的 $\mathcal{R}(n)$ 下界？
• RQ4 如何将计算验证与分析界限结合，以确保结果对所有 $n$（包括异常情况）均成立？

主要发现

• 对所有 $n$，归一化行列式满足 $\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$，其中 $d = n - h$，$h$ 为不超过 $n$ 的最大 Hadamard 阶，提供了对固定 $d$ 独立于 $n$ 的普遍下界。
• 在 Hadamard 猜想成立下，对所有 $n$ 有 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2} > 1/9$，且 $d \leq 3$，显著优于以往的界限。
• 对所有正整数 $n$，有 $\mathcal{R}(n) > 3^{-(d+3)}$ 成立，常数虽非最优，但确保了普遍性。
• 当 $d \leq 3$ 时，推论 1 表明对所有充分大的 $n$ 有 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$，并推测对所有 $n > 0$ 成立，趋近于 Rokicki 等人推测的 $1/2$ 下界。
• 论文证明了在表 1 列出的异常情形下，$\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 对所有 $n$ 成立，使用基于 Magma 的随机化算法，结合 Paley 或会议矩阵构造。
• 作者证明了扩展矩阵的 Schur 补以高概率是对角占优的，从而通过新不等式（引理 8 和 10）获得其行列式的紧下界，其精度优于基于 Gerschgorin 的界限。